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CCINP MP 2021 — Maths 2

Théorème de décomposition de Dunford · 4 pages

Après un court exercice sur l'orthogonal des matrices diagonales pour le produit scalaire $(A, B) \mapsto \operatorname{tr}({}^t\!AB)$ , le problème étudie la décomposition de Dunford $A = D + N$ ( $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente, $DN = ND$ ). Il la calcule sur des exemples, l'utilise pour une exponentielle de matrice, l'obtient sur un exemple de deux façons (base adaptée aux sous-espaces caractéristiques, puis projecteurs construits par une relation de Bézout), démontre son unicité par codiagonalisation et montre que $A \mapsto D$ n'est pas continue, grâce à la densité des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice — Orthogonal des matrices diagonales p. 2

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Calcul matriciel — produit scalaire canonique, trace, orthogonal d'un sous-espace, matrices diagonales

Partie I — Quelques exemples p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Diagonalisation · Exponentielle de matrices · Trigonalisation · Polynômes d'endomorphismes — décomposition de Dunford, polynôme caractéristique, polynôme annulateur, exponentielle de matrice, matrice nilpotente

Partie II — Un exemple par deux méthodes p. 3–4

Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Fractions rationnelles · PGCD, Bézout, Gauss · Diagonalisation — lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, relation de Bézout, décomposition en éléments simples

Partie III — Une preuve de l'unicité de la décomposition p. 4

Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Coefficients binomiaux — codiagonalisation, endomorphismes qui commutent, sous-espace propre stable, unicité de Dunford

Partie IV — Non continuité de l'application $A \mapsto D$ p. 4

Topologie des espaces de matrices · Densité · Diagonalisation · Trigonalisation — densité des matrices diagonalisables, continuité de la conjugaison, application non continue, décomposition de Dunford

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Applications linéaires Anneaux de polynômes Corps des fractions d'un anneau intègre PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Ensembles finis et principe des tiroirs Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Intérieur, adhérence