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CCINP PC 2013 — Maths 2

Suites et séries de fonctions en liaison avec des intégrales · 4 pages

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La partie préliminaire calcule l'intégrale de Dirichlet $K = \pi/2$ à l'aide de l'intégrale à paramètre $L(x) = \int (1 - \cos t)/t^2\, e^{-tx} \,\mathrm{d}t$ , et montre que $\int \ln(u)/(u - 1) \,\mathrm{d}u$ sur $\left]0, 1\right[$ vaut $\pi^2/6$ par intégration terme à terme. Le sujet étudie ensuite les limites de $n\int f(t^n) \,\mathrm{d}t$ , en particulier pour $f = \sin$ , puis le comportement quand $x$ tend vers $1$ de séries de fonctions comme $\sum x^n/(1 - x^n)$ et $-\sum \ln(1 - x^n)$ , en encadrant $(1 - x)\sum f(x^n)$ par des intégrales.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Calculs préliminaires p. 1–2

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions spéciales · Interversion des limites · Fonction zêta de Riemann — intégrale de Dirichlet, dérivation sous le signe intégrale, intégration par parties, intégration terme à terme, $\zeta(2)$ , intégrale de $\ln(u)/(u - 1)$

Partie II — Étude de quelques suites d'intégrales p. 2–3

Convergence dominée · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment — théorème de convergence dominée, suite d'intégrales, changement de variable, intégrale de $\sin(t^n)$ , équivalent d'une intégrale, intégration par parties

Partie III — Étude de séries de fonctions p. 3–4

Suites et séries de fonctions · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Séries entières — série de Lambert, convergence normale, comparaison série-intégrale, comportement au bord, dérivation terme à terme, série de logarithmes

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Une série entière est holomorphe Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques