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e3a-Polytech PC 2016 — Maths 2

Quatre séries de somme $\ln 2$ et vitesse de convergence · 5 pages

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Le sujet obtient quatre expressions de $\ln 2$ comme somme de série : $\sum 1/(k 2^k)$ , $\sum 1/(k(k+1)2^k)$ , la série harmonique alternée et $\sum a_n$ avec $a_n = (2n)!/(n\, 2^{2n+1} (n!)^2)$ , cette dernière via les intégrales de Wallis, une intégration terme à terme et le calcul de l'intégrale de $\ln(\cos x)$ sur $[0, \pi/2]$ . Il détermine ensuite des équivalents des restes : $1/(n 2^n)$ , $(-1)^n/(2n)$ , $1/\sqrt{\pi n}$ et $1/(n^2 2^n)$ , puis compare les vitesses de convergence.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Développements en série entière et série harmonique alternée p. 2

Séries entières · Séries alternées · Séries numériques · Fractions rationnelles — développement en série entière de $\ln(1+x)$ , rayon de convergence, série harmonique alternée, reste d'une série, critère spécial des séries alternées

Partie II — Une série issue des intégrales de Wallis p. 2–3

Formule de Stirling · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Séries numériques · Suites et séries de fonctions — intégrales de Wallis, formule de Stirling, intégrale de $\ln(\cos x)$ , intégration terme à terme, changement de variable

Partie III — Équivalents des restes p. 3–4

Équivalents et comparaison · Comparaison série-intégrale · Séries alternées · Séries numériques · Intégrale sur un segment — équivalent du reste d'une série, vitesse de convergence, sommation par parties, comparaison série-intégrale, reste d'une série alternée

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Corps des fractions d'un anneau intègre Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites