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Mines-Ponts MP 2020 — Maths 2

Nombre de sites visités par une marche aléatoire · 6 pages

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Le sujet étudie l'espérance $E(N_n)$ du nombre de points de $\mathbb{Z}^d$ visités en $n$ pas par une marche aléatoire. À l'aide des séries génératrices $F$ et $G$ du retour en $0$ et du premier temps de retour $R$ , il montre que $E(N_n)/n$ tend vers $P(R = +\infty)$ , que la marche revient presque sûrement en $0$ si et seulement si la série des $P(S_n = 0)$ diverge, et calcule la loi de $R$ pour la marche de Bernoulli sur $\mathbb{Z}$ . Un lemme taubérien sur les suites vérifiant $\sum a_k b_{n-k} = 1$ conduit au théorème d'Erdős et Dvoretzky : pour la marche simple sur $\mathbb{Z}^2$ , $E(N_n)$ est équivalent à $\pi n/\ln n$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Préliminaires p. 2–3

Coefficients binomiaux · Formule de Stirling · Comparaison série-intégrale · Séries entières · Intégrale sur un segment · Équivalents et comparaison — identité de Vandermonde, coefficient binomial central, formule de Stirling, comparaison série-intégrale, séries de Riemann, logarithme intégral, série du binôme

Partie B — Marches aléatoires, récurrence p. 3–5

Marches aléatoires · Fonctions génératrices · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries entières · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance — marche aléatoire, temps de premier retour, récurrence et transience, série génératrice, théorème d'Abel, lemme de Cesàro, variable de Bernoulli indicatrice

Partie C — Les marches de Bernoulli sur $\mathbb{Z}$ p. 5

Marches aléatoires · Fonctions génératrices · Coefficients binomiaux · Équivalents et comparaison · Séries entières — marche de Bernoulli, probabilité de retour en $0$ , loi du temps de retour, marche simple symétrique, équivalent de $E(N_n)$

Partie D — Un résultat asymptotique p. 5–6

Équivalents et comparaison · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Suites numériques — produit de convolution de suites, suite décroissante, théorème taubérien, équivalent en $1/\ln n$

Partie E — La marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}^2$ : un théorème d'Erdős et Dvoretzky p. 6

Marches aléatoires · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux · Formule de Stirling — marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}^2$ , théorème d'Erdős-Dvoretzky, nombre de sites visités, équivalent de $E(N_n)$ , coefficient binomial central

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Intégrale de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Sommation d'Abel et intégrales impropres Espérance, variance et inégalités Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ