AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2016 — Maths 2

Wronskien et problème de Waring · 5 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet étudie le wronskien d'une famille de fonctions : calcul pour des monômes à l'aide d'un déterminant de type Vandermonde, comportement par multiplication par une fonction, lien entre famille liée et annulation du wronskien, puis non-annulation au voisinage de $0$ pour une famille libre de fonctions développables en série entière. Il l'applique à l'analogue polynomial du problème de Waring : si $k(n)$ est le plus petit $k$ tel que $X = f_1^n + \dots + f_k^n$ ait des solutions dans $\mathbb{C}[X]$ , on montre $k(n) \leqslant n$ à l'aide de l'opérateur de différence $\Delta$ , $k(2) = 2$ , et $n < k(n)^2 - k(n)$ pour $n \geqslant 3$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie A — Propriétés élémentaires du Wronskien p. 2–3

Déterminants · Dérivabilité · Matrices remarquables — wronskien, déterminant de Vandermonde, factorielle descendante, opérations sur les lignes, monômes

Partie B — Annulation du wronskien p. 3–4

Déterminants · Espaces vectoriels et dimension · Séries entières · Équivalents et comparaison · Dérivabilité — wronskien, famille liée, famille libre de fonctions, ordre d'une série entière, sous-intervalle

Partie C — Problème de Waring sur $\mathbb{C}[X]$ p. 4–5

Polynômes · Déterminants · Racines et relations coefficients-racines — problème de Waring, opérateur de différence, sommes de puissances $n$ -ièmes, degré d'un polynôme, divisibilité de polynômes, wronskien

Dans l'édifice

Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Dérivabilité Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Anneaux de polynômes