AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2011 — Maths B

Transformation d'Euler et accélération de la convergence · 4 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie l'opérateur de différence $\Delta$ et les suites complètement monotones, notamment les suites de moments $u_n = \int_0^1 t^n \omega(t) \,\mathrm{d}t$ . Il démontre que pour toute série alternée convergente $\sum (-1)^k u_k$ , la transformée d'Euler $\sum (-1)^p (\Delta^p u)_0 / 2^{p+1}$ converge vers la même somme (avec erreur en $S/2^{n+1}$ pour les suites de moments), d'où $\ln 2 = \sum 1/((p+1)2^{p+1})$ . Il améliore ensuite la méthode avec des polynômes $P_n$ vérifiant $P_n(\sin^2 t) = \cos(2nt)$ (polynômes de Tchebychev décalés) et compare les vitesses de convergence sur la série de $\ln 2$ .

Le sujet, partie par partie

Première partie — Suites complètement monotones p. 1–3

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries alternées · Dérivabilité · Problème des moments · Coefficients binomiaux · Intégrale sur un segment — opérateur de différence, différences finies itérées, suite complètement monotone, suite de moments, accroissements finis généralisés, série de $\ln 2$

Deuxième partie — Transformée d'Euler p. 3

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries alternées · Coefficients binomiaux · Suites numériques · Familles sommables et produit de Cauchy — transformée d'Euler, série alternée, moyenne binomiale, lemme de Cesàro binomial, convergence de la transformée

Troisième partie — Une amélioration de la méthode p. 4

Polynômes de Tchebychev · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Intégrale sur un segment · Polynômes — accélération de la convergence, polynômes de Tchebychev décalés, $\cos(2nt)$ polynôme en $\sin^2 t$ , majoration de l'erreur, suite de moments

Quatrième partie — Comparaison des méthodes sur un exemple p. 4

Équivalents et comparaison · Séries alternées · Polynômes de Tchebychev · Analyse numérique — vitesse de convergence, équivalent du reste, série harmonique alternée, comparaison de méthodes

Dans l'édifice

Sommation d'Abel et intégrales impropres Suites, séries et parties compactes de ℂ Dérivabilité Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Ensembles finis et principe des tiroirs Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ La demi-droite achevée et les sommes positives Anneaux de polynômes Théorème du point fixe de Banach