ATLAS
Ouvrir dans l'atlas →AnnalesÉcoles d'ingénieurs
X-ENS MPI 2026 — Maths C
Le sujet étudie les inégalités variationnelles associées à un opérateur monotone sur un convexe fermé de l'espace euclidien, en s'appuyant sur la projection sur un convexe fermé. Il en déduit l'existence de solutions et le théorème du minimax de von Neumann, puis établit la convergence des itérations de Krasnoselskii-Mann vers un point fixe d'une application -lipschitzienne, et démontre enfin le théorème de Baillon-Haddad sur les fonctions convexes à gradient lipschitzien, appliqué à la descente de gradient.
Le sujet, partie par partie
Notations et Partie I — Inégalités variationnelles et projection sur un convexe fermé p. 2–4
Ensembles convexes · Projection orthogonale et moindres carrés · Compacité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — inégalité variationnelle, projection sur un convexe fermé, opérateur monotone, caractérisation de la projection
Partie II — Existence de solution et théorème du minimax de von Neumann p. 5–6
Ensembles convexes · Extrema et optimisation · Compacité — théorème du minimax de von Neumann, point selle, opérateur monotone, simplexe, suite moyennée
Partie III — Itérations de Krasnoselskii-Mann p. 6–7
Points fixes et suites itératives · Suites numériques · Espaces préhilbertiens et euclidiens — application -lipschitzienne, point fixe, itérations de Krasnoselskii-Mann, application non expansive
Partie IV — Théorème de Baillon-Haddad et descente de gradient p. 7–8
Descente de gradient · Fonctions convexes · Matrices symétriques positives · Points fixes et suites itératives · Points critiques et hessienne · Calcul différentiel — théorème de Baillon-Haddad, gradient lipschitzien, matrice hessienne, descente de gradient, cocoercivité