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X-ENS PC 2013 — Maths

L'algorithme de Jacobi pour les matrices symétriques · 4 pages

Le sujet étudie la conjugaison d'une matrice symétrique $S$ par une rotation plane $R_{p,q}(\theta)$ choisie pour annuler le coefficient $s_{pq}$ , et suit l'effet de cette opération sur les parties diagonale et extra-diagonale pour la norme euclidienne de $\mathcal{M}_n$ . Il en déduit la convergence de la partie diagonale dans l'algorithme de Jacobi incomplet, puis, dans la version optimale (pivot de plus grande valeur absolue), la convergence vers une matrice diagonale formée des valeurs propres, avec une estimation géométrique $\|D - D^{(m)}\| \leqslant \rho^m \|E^{(0)}\|/(1 - \rho)$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Préliminaires p. 1–2

Matrices orthogonales et rotations · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Calcul matriciel · Espaces préhilbertiens et euclidiens — rotation de Givens, norme de Frobenius, matrices semblables, invariance par conjugaison orthogonale, fonction affine par morceaux

Partie 2 — Conjugaison par une matrice de rotation p. 2–3

Calcul numérique des valeurs propres · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Calcul matriciel — rotation de Jacobi, annulation d'un coefficient extra-diagonal, norme de Frobenius, partie diagonale et extra-diagonale, équation du second degré en $\tan\theta$

Partie 3 — Algorithme de Jacobi incomplet p. 3

Calcul numérique des valeurs propres · Séries numériques · Suites numériques — algorithme de Jacobi, suite de matrices, série convergente, convergence de la diagonale

Partie 4 — Convergence et polynôme caractéristique p. 4

Réduction des endomorphismes · Topologie des espaces de matrices · Calcul matriciel — matrices semblables, continuité du polynôme caractéristique, limite d'une suite de matrices, multiplicité des valeurs propres

Partie 5 — Algorithme de Jacobi, version optimale p. 4

Calcul numérique des valeurs propres · Théorème spectral · Suites numériques — algorithme de Jacobi, convergence géométrique, valeurs propres d'une matrice symétrique, vitesse de convergence

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Théorème de représentation de Riesz Théorème du point fixe de Banach Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Déterminant d'un endomorphisme Groupe topologique