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X-ENS PC 2017 — Maths

Rayon spectral et théorème de Perron · 4 pages

Le sujet munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de la norme subordonnée à la norme 1, montre qu'elle vaut le maximum des sommes de colonnes et que $A^k$ tend vers $0$ dès que le rayon spectral est $< 1$ (par conjugaison d'une matrice triangulaire). Il établit la formule de Gelfand $\lim \|A^k\|^{1/k} = \rho(A)$ et l'inégalité $\rho(A) \leqslant \rho(A_+)$ , puis démontre le théorème de Perron pour une matrice strictement positive : $\rho(A)$ est valeur propre simple dominante, de vecteur propre strictement positif, et $A^k x / \rho(A)^k$ converge vers un multiple de ce vecteur.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Norme subordonnée à la norme 1 p. 1–2

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Trigonalisation · Espaces vectoriels normés · Normes équivalentes — norme subordonnée, norme 1, norme d'algèbre, maximum des sommes de colonnes, convergence des puissances, conjugaison par une matrice diagonale

Deuxième partie — Rayon spectral p. 2–3

Rayon spectral · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Trigonalisation · Matrices positives et stochastiques — rayon spectral, formule de Gelfand, convergence de $A^k$ vers $0$ , matrice des modules, propriétés du rayon spectral

Troisième partie — Théorème de Perron pour les matrices strictement positives p. 3–4

Théorème de Perron-Frobenius · Rayon spectral · Sous-espaces stables · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Nombres complexes · Dualité — matrice strictement positive, théorème de Perron, vecteur propre positif, valeur propre simple, cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, hyperplan stable

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Spectre premier d'un anneau Applications linéaires Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espace dual