AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2025 — Jour 2, 22 mai 2025

Loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, suite des racines carrées et approximation de $\ln(2)$ par la méthode de Briggs, vrai-faux de géométrie dans l'espace, fonction exponentielle-sinus, convexité et intégrales · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie les paniers à trois points d'un basketteur par une loi binomiale et l'espérance des points marqués, puis la moyenne $M_n$ de ses points sur $n$ matchs, dont l'écart à 22 est contrôlé par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième montre que la suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ , de premier terme 2, converge vers 1, établit que $v_n = \ln(u_n)$ est géométrique et que $\ln(2) = 2^n\ln(u_n)$ , puis en déduit une approximation de $\ln(2)$ par la tangente $y = x - 1$ et un programme Python pour la méthode de Briggs. Le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l'espace sur un cube (combinaison de vecteurs, base, produit scalaire), puis sur un plan et des droites (parallélisme, plan parallèle, distance d'un point à un plan, coplanarité). Le quatrième étudie $f(x) = \mathrm{e}^{x}\sin(x)$ sur $[0, \pi]$ : variations, convexité et inégalité de tangente, point d'inflexion, calcul de $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x}\sin(x)\,\mathrm{d}x$ par deux intégrations par parties et aire entre la courbe et la droite $y = x$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi binomiale, espérance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une moyenne : paniers au basket-ball p. 1

Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires — loi binomiale, espérance, $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$ , $M_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ , variables indépendantes, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(|M_{50} - 22| \geqslant 3) \leqslant \frac{13}{90}$

Exercice 2 — Suite des racines carrées itérées, suite géométrique des logarithmes et approximation de $\ln(2)$ p. 2–3

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique · Analyse numérique — $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ , raisonnement par récurrence, $v_n = \ln(u_n)$ , suite géométrique, $\ln(2) = 2^n\ln(u_n)$ , tangente $y = x - 1$ , méthode de Briggs, fonction Python

Exercice 3 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : vecteurs dans un cube, plan, distance et coplanarité de deux droites p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, combinaison de vecteurs, base de l'espace, produit scalaire, $2x - y + 3z + 6 = 0$ , distance d'un point à un plan, coplanarité de deux droites

Exercice 4 — Étude de $\mathrm{e}^{x}\sin(x)$ : convexité, point d'inflexion, intégration par parties et aire p. 4–5

Dérivabilité · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Fonctions trigonométriques · Fonctions exponentielle et logarithme — $f(x) = \mathrm{e}^{x}\sin(x)$ , tangente, $\mathrm{e}^{x}\sin(x) \geqslant x$ , point d'inflexion, intégration par parties, $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x}\sin(x)\,\mathrm{d}x$ , aire entre deux courbes

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Théorème du point fixe de Banach Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Fonctions trigonométriques