AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2014 — Session normale, 17 novembre 2014

Loi normale, intervalle de fluctuation et probabilités conditionnelles, QCM de géométrie, suite récurrente, matrices, étude de fonction et aire · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise la masse et la circonférence de ballons par des lois normales, confronte l'affirmation d'une entreprise à un intervalle de fluctuation, puis traite un arbre de probabilité et une probabilité conditionnelle. Le deuxième exercice est un QCM de géométrie : nature d'un triangle de l'espace, droite perpendiculaire à un plan, ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ et position de deux droites dans un cube. Le troisième exercice étudie, pour les non-spécialistes, la suite $u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \frac{3}{2}$ par conjecture puis par la suite auxiliaire $v_n = u_n - 3$ , et, pour les spécialistes, des flux de vélos entre deux stations décrits par des matrices. Le quatrième exercice modélise le bord d'un portail par $f(x) = \left(x + \frac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-4x} + b$ , calcule l'aire d'un vantail à l'aide d'une primitive et complète un algorithme sommant des aires de planches.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Lois normales, intervalle de fluctuation et probabilités conditionnelles p. 1–2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes — $P(410 \leqslant X \leqslant 450)$ , détermination d'un écart-type, intervalle de fluctuation, arbre de probabilité, probabilités totales

Exercice 2 — QCM de géométrie : triangle et droite de l'espace, produit scalaire dans le plan, droites d'un cube p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, nature d'un triangle, droite perpendiculaire à un plan, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ , cube, position relative de deux droites

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite récurrente : conjecture puis démonstration par une suite auxiliaire p. 3–4

Suites numériques — $u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \frac{3}{2}$ , $v_n = u_n - 3$ , conjecture, raisonnement par récurrence, suite monotone bornée

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrices et répartition de vélos entre deux stations p. 4–5

Calcul matriciel · Suites numériques — $U_{n+1} = MU_n$ , $V_{n+1} = MV_n + R$ , matrice inverse, état stable, limite

Exercice 4 — Étude de fonction, aire par une primitive et algorithme de somme d'aires p. 5–7

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $f(x) = \left(x + \frac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-4x} + b$ , primitive, aire, algorithme, somme d'aires de rectangles

Dans l'édifice

La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Indépendance d'événements et de tribus Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Matrices d'une application linéaire Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence