AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2018 — Session normale, 12 novembre 2018

Probabilités conditionnelles, loi normale et intervalle de fluctuation, fonction $10\mathrm{e}^{u(x)}$ et vitesse de croissance, droites non coplanaires et distance minimale, carré par les complexes, suite et logarithme ou nombres de Fermat · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule des probabilités conditionnelles à partir d'une étude de marché, utilise une loi normale pour un stock de farine et teste la représentativité d'une clientèle par un intervalle de fluctuation. Le deuxième étudie $f(x) = 10\mathrm{e}^{u(x)}$ avec $u(x) = -\mathrm{e}^{2 - \frac{x}{10}}$ : variations, longueur au bout de vingt jours, possibilité d'atteindre 11 cm, et maximum de la vitesse de croissance $f'$ par l'étude de $f''$ . Le troisième montre que deux droites de l'espace ne se coupent pas, calcule leur distance minimale à l'aide d'un vecteur normal commun et d'un calcul formel, puis la distance d'un point à l'une d'elles, et le quatrième démontre par les complexes qu'un quadrilatère est un carré. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $u_{n+2} = \frac{u_{n+1}^2}{ku_n}$ au tableur puis, pour $k = \mathrm{e}$ , par la suite arithmétique $v_n = \ln(u_{n+1}) - \ln(u_n)$ et une somme, et les spécialistes réfutent la conjecture de Fermat sur les nombres $F_n = 2^{2^n} + 1$ et prouvent que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi normale et intervalle de fluctuation p. 1

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests — probabilité conditionnelle, probabilités totales, événement contraire, loi normale $\mathcal{N}(90 ; 2^2)$ , quantile, intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 2 — Fonction $10\mathrm{e}^{u(x)}$ : variations et vitesse de croissance maximale p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = 10\mathrm{e}^{u(x)}$ , $u(x) = -\mathrm{e}^{2 - \frac{x}{10}}$ , dérivée d'une composée, dérivée seconde, vitesse de croissance maximale

Exercice 3 — Droites non coplanaires de l'espace, distance minimale et distance d'un point à une droite p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — représentation paramétrique, droites non sécantes, vecteur normal à deux droites, distance entre deux droites, calcul formel, distance d'un point à une droite

Exercice 4 — Caractérisation d'un carré par les nombres complexes p. 3

Nombres complexes — affixe, parallélogramme, rotation d'angle droit, multiplication par $\mathrm{i}$ , carré

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite $u_{n+2} = \frac{u_{n+1}^2}{ku_n}$ , suite arithmétique des logarithmes et seuil p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $u_{n+2} = \frac{u_{n+1}^2}{ku_n}$ , feuille de calcul, $v_n = \ln(u_{n+1}) - \ln(u_n)$ , suite arithmétique, somme des termes, $S_n = \frac{n(3-n)}{2}$ , seuil

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Nombres de Fermat : non-primalité de $F_5$ et nombres premiers entre eux p. 4–5

Nombres premiers · PGCD, Bézout, Gauss · Informatique et algorithmique — nombres de Fermat, $F_n = 2^{2^n} + 1$ , contre-exemple, diviseur 641, produit $\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2$ , nombres premiers entre eux

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Théorème fondamental de l'arithmétique PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss