AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2022 — Jour 1, 26 septembre 2022

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, suite récurrente et logarithme, fonction logarithme et concavité, géométrie dans le pavé droit · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie une alarme par un arbre pondéré et des probabilités conditionnelles, puis le nombre d'alarmes défaillantes dans un prélèvement par une loi binomiale, et cherche la taille minimale d'un prélèvement. Le deuxième étudie la suite $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n^2$ par récurrence, monotonie et limite, puis retrouve sa limite par les suites $v_n = \ln(u_n)$ et $w_n = v_n - \ln 5$ , cette dernière géométrique de raison 2. Le troisième étudie $g(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln x)$ et son unique zéro $\alpha$ sur $\left[1, +\infty\right[$ , puis, grâce à la concavité, minore $g$ sur $[1, \alpha]$ par la fonction affine dont la courbe est la corde joignant les points d'abscisses 1 et $\alpha$ . Le quatrième, dans un pavé droit, cherche les points $M$ de $[GH]$ qui rendent le triangle $AMC$ rectangle en $M$ , puis calcule un volume et la distance d'un point à un plan.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Système d'alarme : probabilités conditionnelles, loi binomiale et taille d'échantillon p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}005\,25)$ , probabilité d'au moins un succès, plus petit entier $n$

Exercice 2 — Suite $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n^2$ : récurrence, limite et suite géométrique des logarithmes p. 2

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n^2$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, équation $\ell = \frac{1}{5}\ell^2$ , $v_n = \ln(u_n)$ , suite géométrique de raison 2, fonction Python

Exercice 3 — Fonction logarithme : variations, zéro unique, concavité et inégalité de la corde p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $g(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln x)$ , $g'(x) = -4x\ln x$ , théorème des valeurs intermédiaires, encadrement de $\alpha$ , fonction concave, position d'une courbe par rapport à une corde

Exercice 4 — Pavé droit : triangle rectangle par le produit scalaire, projeté orthogonal, volume et distance p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — parallélépipède rectangle, représentation paramétrique, $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CM} = 25k^2 - 25k + 4$ , triangle rectangle, projeté orthogonal, volume du tétraèdre $MACD$ , distance d'un point à un plan

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes