AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2012 — Session normale, 19 juin 2012

Fonction exponentielle, tangente et aire, transformation complexe, suite et suite géométrique auxiliaire, questions de probabilités, arithmétique et similitude · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{x-1} + 1$ , cherche la tangente passant par l'origine en résolvant $1 - x^2\mathrm{e}^{x-1} = 0$ , puis calcule une aire par intégration par parties. Le deuxième étudie le triangle $OAB$ par le quotient $\frac{b}{a}$ , l'ensemble des points où $|z'| = 1$ pour $z' = \frac{z + 1 - 2\mathrm{i}}{z + 2 + \mathrm{i}}$ , et une propriété de médiane et de hauteur obtenue par rotations. Le troisième étudie la suite $u_{n+1} = \frac{n+1}{2n}u_n$ , montre qu'elle converge, obtient $u_n = \frac{n}{2^n}$ par une suite géométrique auxiliaire et en déduit sa limite. Le quatrième exercice, au choix, pose cinq questions indépendantes de probabilités (probabilités totales, combinaisons, loi binomiale, indépendance, simulation) ou, pour la spécialité, quatre questions sur une équation diophantienne, des congruences modulo 7, une similitude et un algorithme de recherche de diviseurs.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Étude de $x\mathrm{e}^{x-1} + 1$ , tangente passant par l'origine et aire p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x\mathrm{e}^{x-1} + 1$ , asymptote horizontale, tableau de variations, tangente passant par l'origine, unicité d'une solution, intégration par parties, aire

Exercice 2 — Nombres complexes : triangle, ensemble de points et rotations p. 2

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — quotient d'affixes, triangle rectangle isocèle, $z' = \frac{z + 1 - 2\mathrm{i}}{z + 2 + \mathrm{i}}$ , médiatrice, rotation, médiane et hauteur

Exercice 3 — Suite définie par récurrence, suite géométrique auxiliaire et limite p. 2–3

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — $u_{n+1} = \frac{n+1}{2n}u_n$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, suite géométrique, $u_n = \frac{n}{2^n}$ , croissances comparées

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Cinq questions de probabilités p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Coefficients binomiaux · Informatique et algorithmique — probabilités totales, tirage simultané, combinaisons, loi binomiale, événements indépendants, simulation par un algorithme

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne, congruences, similitude et algorithme p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Nombres complexes · Informatique et algorithmique · Géométrie affine et euclidienne — équation $11x - 5y = 14$ , $2^{3n} \equiv 1 \pmod 7$ , reste de la division euclidienne, similitude directe, diviseurs d'un entier, algorithme

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ