AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2011 — Session normale, juin 2011

Fonctions logarithme et aire entre deux courbes, rotations et carrés dans le plan complexe, géométrie du cube, loi exponentielle ou décomposition en facteurs premiers · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ et $g(x) = \frac{(\ln x)^2}{x}$ , la position relative de leurs courbes et l'aire comprise entre elles de 1 à $\mathrm{e}$ . Le deuxième utilise des rotations du plan complexe pour étudier les carrés construits extérieurement sur les côtés d'un triangle. Le troisième place dans un cube le point d'intersection d'une diagonale et d'un plan, montre que c'est un projeté orthogonal et classe le tétraèdre $EAFH$ selon les aires de ses faces et l'orthogonalité de ses arêtes opposées. Le dernier traite, pour les non-spécialistes, une loi exponentielle (avec une restitution de connaissances sur la durée de vie sans vieillissement) et une loi binomiale, et pour les spécialistes l'existence d'une décomposition en facteurs premiers et les points à coordonnées entières de l'intersection de la surface $z = xy$ avec le cylindre $x^2 + z^2 = 1$ puis avec les plans $z = n^4 + 4$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonctions $\frac{\ln x}{x}$ et $\frac{(\ln x)^2}{x}$ : variations, position relative et aire entre deux courbes p. 1

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ , $g(x) = \frac{(\ln x)^2}{x}$ , croissances comparées, position relative de deux courbes, aire entre deux courbes

Exercice 2 — Rotations du plan complexe et carrés construits sur les côtés d'un triangle p. 1–2

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — écriture complexe d'une rotation, carrés extérieurs à un triangle, droites perpendiculaires, hauteur d'un triangle, angle orienté, alignement

Exercice 3 — Cube : projeté orthogonal, distance d'un point à un plan et types de tétraèdres p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, tétraèdre, arêtes opposées orthogonales

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Loi exponentielle (restitution de connaissances) et loi binomiale p. 3–4

Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance — restitution organisée de connaissances, loi exponentielle, durée de vie sans vieillissement, probabilité conditionnelle, $\lambda = 0{,}2$ , $\mathrm{e}^{-0{,}4}$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Décomposition en facteurs premiers (restitution de connaissances) et points à coordonnées entières de surfaces p. 4–5

Nombres premiers · Coniques et quadriques · Géométrie vectorielle dans l'espace — décomposition en facteurs premiers, cylindre, $z = xy$ , $x^2(1 + y^2) = 1$ , $n^4 + 4$ , points à coordonnées entières

Dans l'édifice

Dérivabilité Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Théorème fondamental de l'arithmétique