AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers, autre groupe Terminale 2022 — Jour 2, 19 mai 2022 (Centres étrangers groupe 1)

Probabilités conditionnelles, indépendance et loi binomiale, géométrie dans le cube et volume d'un tétraèdre, QCM (convexité, suites), fonction $\mathrm{e}^{-x} + \ln(x)$ et suites croisées · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la proportion de cadres parmi les salariés d'une entreprise selon le sexe : arbre pondéré, probabilités totales, indépendance de $F$ et $C$ , probabilité $P_C(F)$ , puis loi binomiale et taille minimale d'échantillon pour avoir au moins un cadre avec une probabilité d'au moins 0,99. Le deuxième exercice, dans un cube, établit des orthogonalités, une équation du plan $(AGH)$ , le projeté orthogonal $K$ d'un point $L$ sur ce plan, la distance de $L$ au plan et le volume du tétraèdre $LAGH$ . Le troisième exercice est un QCM sur la convexité de $x^{1000} + x$ , une tangente lue sur la courbe de $f'$ , des suites (bornes, signe alterné, suite arithmético-géométrique, monotonie) et un temps de génération de cellules. Le quatrième exercice étudie $f(x) = \mathrm{e}^{-x} + \ln(x)$ sur $\left]0, 1\right]$ et l'unicité de son zéro $\ell$ , puis les suites croisées $a_{n+1} = \mathrm{e}^{-b_n}$ , $b_{n+1} = \mathrm{e}^{-a_n}$ , avec une fonction Python, un encadrement par récurrence et la convergence.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, indépendance et loi binomiale (cadres d'une entreprise) p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, probabilités totales, événements indépendants, $P_C(F)$ , loi binomiale, taille minimale d'échantillon, au moins un cadre

Exercice 2 — Géométrie dans le cube : orthogonalité, équation du plan $(AGH)$ , projeté orthogonal et volume du tétraèdre $LAGH$ p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , droite orthogonale à un plan, équation cartésienne $y - z = 0$ , représentation paramétrique de $(EL)$ , projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, volume d'un tétraèdre

Exercice 3 — QCM : convexité, tangente lue sur la courbe de $f'$ , bornes et monotonie de suites, suite arithmético-géométrique p. 3–4

Suites numériques · Fonctions convexes · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme — QCM, $g(x) = x^{1000} + x$ , convexité, $u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ , $w_{n+1} = 2w_n - 4$ , $a_{n+1} = \frac{\mathrm{e}^n}{\mathrm{e}^n + 1}a_n$ , temps de génération

Exercice 4 — Fonction $\mathrm{e}^{-x} + \ln(x)$ et suites croisées $a_{n+1} = \mathrm{e}^{-b_n}$ , $b_{n+1} = \mathrm{e}^{-a_n}$ p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Suites numériques · Limites de fonctions et asymptotes · Informatique et algorithmique — $f(x) = \mathrm{e}^{-x} + \ln(x)$ , $f'(x) = \frac{1 - x\mathrm{e}^{-x}}{x}$ , unique solution de $f(\ell) = 0$ , $a_{n+1} = \mathrm{e}^{-b_n}$ , $0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1$ , raisonnement par récurrence, fonction Python

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Théorème de définition par récurrence