AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2022 — Jour 2, 12 mai 2022

QCM sur l'exponentielle (dérivées, convexité, primitives, limite), fonction $x\ln(x) + 1$ et suite récurrente, géométrie dans l'espace et tétraèdre, jeu de jetons, espérance de gain et loi binomiale · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur la fonction exponentielle : dérivée de $f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^x}$ , lecture de la convexité sur la courbe de $f''$ , primitives de $x^3\mathrm{e}^{-x^2}$ et de $\mathrm{e}^{2x+1}$ , limite d'un quotient et identification graphique de la dérivée seconde. Le deuxième exercice étudie $f(x) = x\ln(x) + 1$ (limites, variations, tangente, convexité, inégalité $f(x) \geqslant x$ ) puis la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , dont il établit par récurrence l'encadrement $0 < u_n < 1$ , la croissance et la convergence. Le troisième exercice montre que $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ , calcule le volume du tétraèdre $ABCD$ , puis utilise le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(BCD)$ pour obtenir la distance de $A$ à ce plan et l'aire de $BCD$ . Le quatrième exercice détermine la loi du gain d'un jeu de tirages avec remise de jetons, cherche par une inéquation du second degré le nombre de jetons noirs rendant le jeu favorable, puis calcule une probabilité « au moins un » pour 10 joueurs indépendants.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM sur la fonction exponentielle : dérivées, convexité, primitives et limite p. 1–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — QCM, $f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^x}$ , $f(x) = x^3\mathrm{e}^{-x^2}$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x + 1}{\mathrm{e}^x - 1}$ , primitive vérifiant $F(0) = 1$ , lecture graphique de $f''$

Exercice 2 — Fonction $x\ln(x) + 1$ : variations, convexité, tangente et suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ p. 3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Suites numériques · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x\ln(x) + 1$ , $f'(x) = 1 + \ln(x)$ , tangente au point d'abscisse 1, inégalité $f(x) \geqslant x$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, volume du tétraèdre et distance à un plan p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — points non coplanaires, triangle rectangle, droite perpendiculaire à un plan, volume du tétraèdre $ABCD$ , $\overrightarrow{BH} = \alpha\overrightarrow{BC} + \beta\overrightarrow{BD}$ , projeté orthogonal sur le plan $(BCD)$ , aire du triangle $BCD$

Exercice 4 — Jeu de tirages avec remise : loi du gain, espérance, inéquation du second degré et loi binomiale p. 4–5

Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance · Second degré — arbre pondéré, tirages avec remise, loi de probabilité du gain $X$ , jeu favorable, $-x^2 + 30x - 81 > 0$ , gain moyen maximal, probabilité d'au moins un succès

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels et sous-espaces Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Anneaux de polynômes