AnnalesBaccalauréat

Bac Sujets zéro et inédits Terminale 2021 — Sujet 1 du 15 mars, 15 mars 2021

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, étude de la fonction $x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{x}$ , QCM de géométrie dans l'espace, suite récurrente ou fonction logarithme et convexité · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise un recrutement par un arbre pondéré, calcule une probabilité conditionnelle inversée, puis utilise une loi binomiale et cherche le nombre de candidats à présenter pour que la probabilité d'au moins une admission atteigne 0,99. Le deuxième étudie $f(x) = \mathrm{e}^x / x$ sur $\left]0, +\infty\right[$ , discute le nombre de solutions de $f(x) = m$ et montre qu'un seul point de la courbe a une tangente parallèle à la droite $y = -x$ . Le troisième est un QCM de géométrie dans une pyramide régulière à base carrée. Au choix, l'exercice A étudie la suite $u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1$ par tableur, récurrence et suite géométrique auxiliaire, et l'exercice B étudie variations et convexité de $f(x) = x + 4 - 4\ln x - \frac{3}{x}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Recrutement d'une école : arbre pondéré, probabilité conditionnelle et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}(7\,;\,0{,}24)$ , $1 - 0{,}76^n \geqslant 0{,}99$ , probabilité d'au moins un succès

Exercice 2 — Étude de $\mathrm{e}^x / x$ , nombre de solutions et tangente de direction donnée p. 2

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$ , asymptote verticale, tableau de variations, nombre de solutions de $f(x) = m$ , tangente parallèle à une droite, fonction auxiliaire $g(x) = \mathrm{e}^x(x - 1) + x^2$

Exercice 3 — QCM de géométrie dans l'espace : pyramide régulière à base carrée p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, pyramide $SABCD$ , coplanarité de deux droites, milieu d'un segment, représentation paramétrique de $(AS)$ , équation cartésienne du plan $(SCB)$

Exercice 4, au choix : exercice A — Suite récurrente, encadrement par récurrence et suite géométrique auxiliaire p. 3–4

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques — $u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1$ , tableur, raisonnement par récurrence, $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$ , théorèmes de comparaison, $v_n = u_n - n$ , $\lim u_n / n = 1$

Exercice 4, au choix : exercice B — Fonction logarithme : variations, nombre de solutions, convexité et point d'inflexion p. 4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Limites de fonctions et asymptotes · Second degré — $f(x) = x + 4 - 4\ln x - \frac{3}{x}$ , $f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}$ , extremums, nombre de solutions de $f(x) = \frac{5}{3}$ , point d'inflexion, fonction concave

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Dérivabilité Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Anneaux de polynômes