AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2021 — Jour 2 (remplacement), 13 septembre 2021

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, QCM de géométrie dans l'espace, fonction exponentielle et distance minimale à une courbe, suites couplées ou fonction logarithme · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise le filtrage des courriels indésirables par un arbre pondéré, calcule une probabilité conditionnelle inversée, puis étudie le nombre de spams parmi 50 courriels par une loi binomiale. Le deuxième est un QCM de géométrie dans l'espace sur les représentations paramétriques de droites, l'équation d'un plan orthogonal à une droite et la coplanarité de vecteurs. Le troisième étudie la fonction $f(x) = x - \mathrm{e}^{-2x}$ , dont il isole l'unique zéro $\alpha$ , puis l'utilise pour trouver le point de la courbe de $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ le plus proche de l'origine et montrer que la tangente en ce point est perpendiculaire à $(OA)$ . Au choix, l'exercice A étudie deux suites couplées par une suite géométrique auxiliaire et une suite constante pour obtenir leur limite commune, et l'exercice B étudie $g(x) = (\ln x)^2 - \ln x$ , dont la dérivée est la fonction $x \mapsto \frac{2\ln x - 1}{x}$ étudiée graphiquement dans sa partie I.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Filtre anti-spam : arbre pondéré, probabilité conditionnelle et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}08)$ , $P(Z \geqslant 2)$

Exercice 2 — QCM de géométrie dans l'espace : droites, plans et coplanarité de vecteurs p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, représentation paramétrique d'une droite, équation cartésienne d'un plan, plan orthogonal à une droite, coplanarité de vecteurs, $\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

Exercice 3 — Étude de $x - \mathrm{e}^{-2x}$ et point de la courbe de $\mathrm{e}^{-x}$ le plus proche de l'origine p. 3–4

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes · Extrema et optimisation — $f(x) = x - \mathrm{e}^{-2x}$ , théorème des valeurs intermédiaires, distance minimale, $h(t) = \sqrt{t^2 + \mathrm{e}^{-2t}}$ , tangente perpendiculaire, produit des coefficients directeurs égal à $-1$

Exercice 4, au choix : exercice A — Suites couplées, suite géométrique auxiliaire et récurrence p. 4–5

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques — suites couplées, $w_n = u_n - v_n$ , suite géométrique de raison $0{,}1$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, $c_n = 5u_n + 4v_n$ , limite commune

Exercice 4, au choix : exercice B — Fonction logarithme : étude de $(\ln x)^2 - \ln x$ et nombre de solutions p. 5–6

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x}$ , $g(x) = (\ln x)^2 - \ln x$ , lecture graphique du signe, tableau de variations, équation $g(x) = m$ , minimum d'une fonction

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Applications différentiables Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ