AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2012 — Session normale, 8 juin 2012

Fonction exponentielle et intégration par parties, complexes et rotations, suite récurrente, probabilités ou congruences · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 détermine $f(x) = x\mathrm{e}^{ax+b}$ à partir de deux points de sa courbe, l'étudie, la compare à la droite d'équation $y = x$ et calcule une aire par intégration par parties. L'exercice 2 utilise les nombres complexes et des rotations d'angle $\frac{\pi}{2}$ pour établir des propriétés d'orthogonalité, de longueur et de concours de droites dans un triangle. L'exercice 3 étudie la suite $u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3$ grâce à une suite géométrique auxiliaire et à des algorithmes. L'exercice 4 traite soit des probabilités conditionnelles et un tirage simultané de cubes, soit, en spécialité, une équation diophantienne et le petit théorème de Fermat appliqués à un codage par puissance modulo 133.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $x \mapsto x\mathrm{e}^{0{,}01x-1}$ : variations, position par rapport à une droite et aire p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x\mathrm{e}^{0{,}01x-1}$ , système linéaire, croissances comparées, position relative courbe et droite, intégration par parties, aire entre une courbe et une droite

Exercice 2 — Nombres complexes, rotations et propriétés d'un triangle p. 1–2

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ , écriture complexe d'une rotation, cercle circonscrit, droites perpendiculaires, droites concourantes

Exercice 3 — Suite récurrente $u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3$ , suite géométrique auxiliaire et algorithmes p. 2–3

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3$ , raisonnement par récurrence, suite géométrique auxiliaire, $u_n = 3^n + n - 1$ , algorithme de seuil, limite infinie

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Probabilités conditionnelles, indépendance et tirage simultané p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Dénombrement et combinatoire — probabilités totales, indépendance de deux événements, probabilité conditionnelle, tirage simultané, combinaisons

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne, petit théorème de Fermat et codage p. 4

PGCD, Bézout, Gauss · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Cryptographie — $25x - 108y = 1$ , équation diophantienne, petit théorème de Fermat, congruences modulo 133, $\left(a^{25}\right)^g \equiv a \pmod{133}$ , codage et décodage

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Indépendance d'événements et de tribus Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ