AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2024 — Jour 1, 19 juin 2024

Vrai-faux de géométrie dans l'espace, équation différentielle et refroidissement, loi binomiale et probabilités conditionnelles, suite récurrente homographique · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un vrai-faux de géométrie dans l'espace portant sur un vecteur normal au plan $(OAC)$ , l'intersection de deux droites, le parallélisme d'une droite et d'un plan et le plan médiateur d'un segment. Le deuxième modélise le refroidissement d'un matériau par l'équation différentielle $y' + 0{,}02y = m$ , détermine $m$ et la solution vérifiant $f(0) = 210$ , puis calcule le temps d'attente avant démoulage et la température moyenne sur les 100 premières secondes à l'aide d'une intégrale. Le troisième étudie d'abord le nombre de « Face » en trois lancers par une loi binomiale, puis un jeu en deux essais à l'aide d'un arbre pondéré, d'une probabilité conditionnelle inverse et de la recherche du nombre de parties à jouer pour gagner au moins une fois avec une probabilité supérieure à 0,95. Le quatrième fait conjecturer avec un programme Python, puis démontrer, la décroissance et la convergence de la suite $u_{n+1} = \frac{4}{5 - u_n}$ de premier terme $u_0 = 3$ , dont la limite est cherchée parmi les solutions de $f(x) = x$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : vecteur normal, position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, plan médiateur p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, plan $(OAC)$ , représentation paramétrique, équation cartésienne, $x + 5y - 2z + 3 = 0$ , plan médiateur

Exercice 2 — Équation différentielle du refroidissement, résolution par le calcul et valeur moyenne d'une fonction p. 1–2

Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $y' + 0{,}02y = m$ , condition initiale $f(0) = 210$ , $f(t) = 180\mathrm{e}^{-0{,}02t} + 30$ , calcul formel, valeur moyenne, refroidissement

Exercice 3 — Loi binomiale, arbre pondéré d'un jeu en deux essais et probabilité conditionnelle inverse p. 2–3

Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, $P_{A_1}(G) = \frac{1}{4}$ , probabilités totales, $p = \frac{27}{64}$ , probabilité conditionnelle inverse, au moins une partie gagnée

Exercice 4 — Suite récurrente homographique : conjecture en Python, récurrence et limite par point fixe p. 4–5

Suites numériques · Informatique et algorithmique · Dérivabilité · Second degré — $u_{n+1} = \frac{4}{5 - u_n}$ , $f(x) = \frac{4}{5 - x}$ , fonction Python, raisonnement par récurrence, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4$ , théorème de convergence monotone, point fixe

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Dérivabilité Anneaux de polynômes