AnnalesBaccalauréat

Bac Pondichéry Terminale 2012 — Session normale, 18 avril 2012

Combinaisons, loi binomiale et formule de Bayes, géométrie dans l'espace, suites d'intégrales, complexes ou chiffrement de Hill · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 dénombre les groupes de coureurs contrôlés, interprète un algorithme de tirage, puis utilise une loi binomiale et la formule de Bayes pour un contrôle antidopage. L'exercice 2 est un vrai-faux de géométrie dans l'espace sur des plans, une sphère et des droites. L'exercice 3 étudie les suites d'intégrales $I_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}\,\mathrm{d}x$ et $J_n$ : monotonie, limite par encadrement et limite de $nI_n$ par intégration par parties. L'exercice 4 étudie soit la transformation $z' = \dfrac{1-z}{\overline{z}-1}$ , dont on montre que l'image de tout point distinct de A appartient au cercle unité, avant d'étudier l'alignement d'un point, de son image et de A, soit, en spécialité, l'inverse de 23 modulo 26 et un chiffrement de Hill.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Combinaisons, algorithme de tirage, loi binomiale et formule de Bayes p. 1–2

Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Informatique et algorithmique — $\binom{50}{5}$ , simulation d'un tirage sans répétition, loi binomiale $\mathcal{B}(10\,; 0{,}1)$ , $P(X \geqslant 1)$ , contrôle antidopage, probabilité conditionnelle inverse

Exercice 2 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : plans, sphère et droites p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai ou faux, représentation paramétrique, position relative d'une droite et d'un plan, position relative d'une sphère et d'un plan, intersection de deux plans, coplanarité de deux droites

Exercice 3 — Suites d'intégrales dépendant d'un paramètre : monotonie, encadrement et intégration par parties p. 3–4

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme — $I_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}\,\mathrm{d}x$ , suite d'intégrales, encadrement d'une intégrale, intégration par parties, limite de $nI_n$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Module d'un produit et transformation complexe p. 4–6

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — restitution organisée de connaissances, $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$ , conjugué, $z' = \dfrac{1-z}{\overline{z}-1}$ , cercle unité, points alignés

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Inverse modulo 26 et chiffrement de Hill p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie — compatibilité des congruences avec le produit, $23x - 26y = 1$ , inverse modulo 26, chiffrement de Hill, système de congruences, décodage

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ