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CAPES externe 2016 — Écrit disciplinaire appliqué

Méthode d'Euler pour le refroidissement d'un café ; tirages dans une urne avec remplacement des boules rouges · 7 pages

Le premier problème part d'une activité de première (qui d'Aline ou de Bertrand boit le café au lait le plus chaud ?) : on applique la méthode d'Euler à l'équation $T' = -0{,}04\,(T - T_a)$ , on analyse une production d'élève sur tableur, on écrit un algorithme, puis on compare à la solution exacte et on obtient un équivalent de l'erreur $|T(3) - T_n(3)|$ à l'aide d'une suite arithmético-géométrique. Le second problème étudie une urne à $b$ boules blanches et $r$ rouges où chaque rouge tirée est remplacée par une blanche : loi et espérance du nombre de tirages jusqu'à la première blanche, puis espérance et variance du nombre $Y_n$ de rouges tirées en $n$ tirages, et convergence en probabilité de $Y_n$ vers $r$ par Bienaymé-Tchebychev.

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Méthode d'Euler (parties A, B et C) p. 1–3

Schémas numériques pour les équations différentielles · Équations différentielles linéaires · Suites numériques · Enseignement et didactique · Informatique et algorithmique · Équivalents et comparaison — méthode d'Euler, loi de refroidissement de Newton, suite arithmético-géométrique, tableur, algorithme, équation différentielle du premier ordre

Problème 2, Partie A — Un cas particulier p. 4–5

Variables aléatoires et lois usuelles · Espérance, variance, moments · Informatique et algorithmique · Conditionnement et indépendance — arbre pondéré, urne, loi de probabilité, espérance, simulation, algorithme

Problème 2, Partie B — Généralisation p. 5–7

Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Suites numériques — formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, théorème de transfert, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, variance, urne, transformation d'Abel

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Principe de récurrence Théorème de définition par récurrence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne