AnnalesEnseignement

CAPES externe 2016 — Écrit disciplinaire

Interpolation de Lagrange et déterminant de Vandermonde ; différences finies pour un problème aux limites · 7 pages

Le premier problème construit les polynômes de Lagrange, majore l'erreur d'interpolation par $\max|f^{(n)}|/n! \cdot \max|\prod(x - a_k)|$ grâce au théorème de Rolle, compare sur la fonction sinus l'interpolation en $0, \pi/2, \pi$ à l'interpolation affine par morceaux (erreur au plus $\pi^2/(8n^2)$ ), caractérise par deux méthodes l'inversibilité de la matrice de Vandermonde (bijectivité de l'application d'interpolation, puis calcul du déterminant $\prod(a_l - a_k)$ ) et l'applique à la recherche des paraboles passant par trois points. Le second problème calcule le déterminant de la matrice tridiagonale $A_n$ ( $2$ sur la diagonale, $-1$ à côté), établit un principe du maximum discret et une majoration de $A_n^{-1}B$ , démontre la formule de Taylor avec reste intégral et l'inégalité de Taylor-Lagrange, puis majore l'erreur du schéma aux différences finies pour $f'' = g$ avec conditions aux bords.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Parties A à C — Interpolation de Lagrange, erreur d'interpolation, exemple du sinus p. 1–3

Interpolation polynomiale · Dérivabilité · Applications linéaires et rang · Polynômes — polynômes de Lagrange, polynôme d'interpolation, théorème de Rolle, erreur d'interpolation, interpolation affine par morceaux, fonction sinus

Problème 1, Parties D et E — Déterminant de Vandermonde et recherche de paraboles p. 3–5

Déterminants · Coniques et quadriques · Matrices remarquables · Géométrie affine et euclidienne · Applications linéaires et rang — déterminant de Vandermonde, matrice de Vandermonde, parabole, système linéaire, points alignés, direction de l'axe

Problème 2, Partie A — Calcul d'un déterminant et applications p. 5–6

Déterminants · Matrices remarquables · Suites récurrentes linéaires — matrice tridiagonale, récurrence linéaire d'ordre 2, principe du maximum discret, inverse positif, majoration de la solution

Problème 2, Parties B et C — Inégalité de Taylor-Lagrange et problème aux limites p. 6–7

Schémas aux différences finies · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville — formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange, problème aux limites, schéma aux différences finies, erreur de consistance, dérivée seconde discrète

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Dérivabilité Applications linéaires Théorème du rang Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces vectoriels et sous-espaces Matrices d'une application linéaire Suites réelles et limites Fonctions de classe Cᵏ Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Cauchy-Lipschitz local