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CCINP MP 2014 — Maths 2

Suites récurrentes couplées, endomorphismes de rang 1 et inégalité d'Hadamard · 8 pages

Le sujet comporte deux exercices et un problème. Le premier exercice explicite trois suites récurrentes couplées en diagonalisant une matrice symétrique réelle ; le second relie trace et rang d'un projecteur et caractérise les endomorphismes de rang 1 diagonalisables par leur trace non nulle. Le problème étudie, pour $S$ symétrique positive, le maximum de $A \mapsto \operatorname{Tr}(AS)$ sur le groupe orthogonal compact, égal à $\operatorname{Tr}(S)$ , démontre l'inégalité d'Hadamard $\det S \leqslant s_{11} \cdots s_{nn}$ par l'inégalité arithmético-géométrique, puis en déduit que le minimum de $\operatorname{Tr}(AS)$ sur les matrices définies positives de déterminant $1$ vaut $n (\det S)^{1/n}$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Exercice 1 p. 2

Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Théorème spectral · Calcul matriciel — suites récurrentes couplées, matrice symétrique réelle, puissances d'une matrice, diagonalisation

Partie II — Exercice 2 p. 2

Projecteurs et trace · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Matrices remarquables · Calcul matriciel — projecteur, trace égale au rang, endomorphisme de rang 1, critère de diagonalisabilité, image et noyau d'un projecteur

Partie III — Problème : préliminaires et maximum sur $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Théorème spectral · Matrices symétriques positives · Matrices orthogonales et rotations · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Compacité · Topologie des espaces de matrices — théorème spectral, matrice symétrique complexe non diagonalisable, quotient de Rayleigh, compacité du groupe orthogonal, maximum de $\operatorname{Tr}(AS)$ , coefficients diagonaux et valeurs propres

Partie III — Problème : inégalité d'Hadamard et détermination d'un minimum p. 5

Matrices symétriques positives · Inégalité arithmético-géométrique · Inégalités classiques · Déterminants · Extrema et optimisation — inégalité d'Hadamard, inégalité arithmético-géométrique, matrice symétrique définie positive, déterminant égal à $1$ , minimum de $\operatorname{Tr}(AS)$ , argument de perturbation $S + \varepsilon I_n$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Suites réelles et limites Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Théorème du rang Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Compacité Groupe topologique Dérivabilité Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications différentiables