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CCINP MP 2018 — Maths 2

Projection orthogonale, approximation de Poisson et réduction de matrices par blocs · 8 pages

Un premier exercice calcule le projeté orthogonal de $t \mapsto e^t$ sur les fonctions affines pour le produit scalaire intégral sur $[-1, 1]$ ; un second justifie l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson et l'applique aux anniversaires de candidats. Le problème caractérise la diagonalisabilité par un polynôme annulateur scindé à racines simples, puis étudie la diagonalisabilité et la trigonalisabilité des matrices par blocs $\begin{pmatrix} aA & bA \\ cA & dA \end{pmatrix}$ sur des exemples, avec application à un système différentiel linéaire et à une exponentielle de matrice.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Projection orthogonale p. 2

Projection orthogonale et moindres carrés · Procédé de Gram-Schmidt · Intégrale sur un segment — produit scalaire intégral, base orthonormée, projeté orthogonal, théorème de Pythagore, distance à un sous-espace

Exercice II — Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson p. 2

Loi de Poisson · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments — approximation de Poisson, loi binomiale, dates d'anniversaire, espérance

Problème — Questions préliminaires p. 3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes — polynôme annulateur, polynôme scindé à racines simples, lemme des noyaux, critère de diagonalisabilité

Problème — Exemples de matrices par blocs diagonalisables ou trigonalisables p. 4–5

Matrices par blocs · Diagonalisation · Trigonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Polynômes — matrice par blocs, matrices semblables, polynôme minimal, polynôme caractéristique, matrice trigonalisable

Problème — Applications p. 5–6

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Diagonalisation · Sous-espaces stables · Matrices par blocs — sous-espaces stables, système différentiel linéaire, exponentielle de matrice, diagonalisation explicite

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ