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CCINP MP 2025 — Maths 2
Après un exercice d'informatique de tronc commun (graphes orientés en Python, requêtes SQL), un exercice construit les polynômes de Tchebychev par récurrence, montre qu'ils sont orthogonaux pour un produit scalaire intégral à poids et en déduit une base orthonormale. Le problème étudie les matrices de rang 1 : exemples aléatoires construits à partir de variables de Bernoulli ou de Poisson, puis caractérisation de leur diagonalisabilité par la trace et preuve que deux matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.
Le sujet, partie par partie
Exercice 1 — Graphes orientés et bases de données (informatique) p. 2–3
Graphes · Informatique et algorithmique — dictionnaire d'adjacence, graphe inverse, coloration de graphe, complexité, requête SQL, Python
Exercice 2 — Polynômes de Tchebychev p. 3
Polynômes de Tchebychev · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Polynômes — polynômes de Tchebychev, produit scalaire à poids, base orthonormale, , relation de récurrence
Problème, Partie I — Matrices de rang 1 : exemples p. 4
Lois de Bernoulli et binomiale · Loi de Poisson · Diagonalisation · Matrices remarquables · Applications linéaires et rang · Couples et sommes de variables aléatoires — matrice aléatoire, loi de Bernoulli, loi de Poisson, matrice de rang 1, matrice de projection, matrice dont tous les coefficients valent 1
Problème, Partie II — Matrices de rang 1 : résultats généraux p. 5
Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Calcul matriciel · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes — matrice de rang 1, polynôme minimal, polynôme caractéristique, diagonalisabilité, matrices semblables, trace