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CCINP MP 2026 — Maths 2

Deux exercices de réduction et polynômes de Laguerre · 4 pages

Le premier exercice réduit les matrices $aJ + bI$ , où $J$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$ , et calcule leurs puissances par division euclidienne par le polynôme minimal $(X - b)(X - 3a - b)$ ; le deuxième diagonalise la matrice de permutation circulaire, en déduit la réduction des matrices circulantes $A = P(J)$ et montre que le produit $P(\omega_1)\cdots P(\omega_{n-1})$ est réel. Le problème munit les fonctions sur $\left[0, +\infty\right[$ du produit scalaire $\int f g\, e^{-t}$ , construit la base orthonormée des polynômes de Laguerre par la formule de Rodrigues et établit l'inégalité de Bessel, avec égalité pour les fonctions $x \mapsto e^{-\alpha x}$ , $\alpha > -1/2$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Matrices $aJ + bI$ p. 2

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Matrices remarquables — matrice de $1$ , polynôme minimal, division euclidienne, puissances de matrice

Exercice 2 — Matrices circulantes p. 2–3

Diagonalisation · Matrices remarquables · Nombres complexes · Polynômes d'endomorphismes — matrice circulante, matrice de permutation, racines $n$ -ièmes de l'unité, polynôme caractéristique

Problème — Polynômes de Laguerre p. 3–4

Polynômes de Laguerre · Projection orthogonale et moindres carrés · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrale sur un segment — polynômes de Laguerre, formule de Rodrigues, inégalité de Bessel, égalité de Parseval, base orthonormée, intégration par parties

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de représentation de Riesz Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse