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CCINP MPI 2024 — Maths 2

Suites récurrentes couplées, série de fonctions et critères de matrices définies positives · 8 pages

Un premier exercice diagonalise une matrice $3 \times 3$ pour étudier trois suites récurrentes linéaires couplées et leur convergence. Un deuxième étudie la somme $f(x) = \sum e^{-x\sqrt{n}}$ : domaine, continuité, limite en $+\infty$ et équivalent en $0$ par comparaison avec une intégrale. Le problème établit plusieurs critères pour qu'une matrice symétrique réelle soit définie positive : la caractérisation spectrale, le critère trace-déterminant en dimension 2 (appliqué à un extremum local) et le critère de Sylvester sur les mineurs principaux, démontré par récurrence grâce à une écriture par blocs.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Diagonalisation et suites récurrentes couplées p. 2

Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Suites numériques — matrice diagonalisable, changement de base, système de suites récurrentes, puissances d'une matrice, convergence des suites

Exercice 2 — La série de fonctions $\sum e^{-x\sqrt{n}}$ p. 2

Convergence uniforme et normale · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Interversion des limites — série de fonctions, convergence normale, continuité de la somme, limite en l'infini, encadrement par des intégrales, équivalent en $0$

Problème — Caractérisation spectrale et critère en dimension 2 p. 3

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Points critiques et hessienne · Racines et relations coefficients-racines · Déterminants — matrice définie positive, valeurs propres positives, trace et déterminant, extremum local, matrice hessienne, racines réelles d'un polynôme

Problème — Le critère de Sylvester p. 4–5

Matrices symétriques positives · Formes bilinéaires et quadratiques · Matrices par blocs · Déterminants — critère de Sylvester, mineurs principaux, matrice par blocs, raisonnement par récurrence, forme quadratique définie positive, matrice tridiagonale

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Intégrale de Riemann Une série entière est holomorphe Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications différentiables Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espace dual