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CCINP PC 2017 — Mathématiques

Temps d'attente d'une séquence de lettres générées par un automate · 8 pages

Un automate produit des lettres P et C indépendantes, de probabilités $p$ et $q = 1 - p$ , jusqu'à obtenir une séquence prédéfinie ; le sujet étudie le temps d'attente par sa série génératrice. Après le cas de la séquence C (loi géométrique) et des préliminaires sur le développement en série entière de fractions rationnelles, il établit pour CC la relation $G_Z(t)(1 - pt - pqt^2) = q^2t^2$ et $E(Z) = 1/q + 1/q^2$ . Pour CPC, il ramène le calcul à un système linéaire $S = tAS + L$ , localise les valeurs propres de $A$ dans le disque unité et obtient $G_T(t) = pq^2t^3/(-p^2qt^3 + pqt^2 - t + 1)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude d'un cas simple p. 2–3

Loi géométrique · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments — série génératrice, temps d'attente, loi géométrique, espérance et variance, rayon de convergence

Partie II — Séries entières p. 3

Séries entières · Fractions rationnelles · Familles sommables et produit de Cauchy · Équivalents et comparaison — développement en série entière, rayon de convergence, produit de Cauchy, fraction rationnelle, équivalent du terme général

Partie III — Étude d'un cas intermédiaire (séquence CC) p. 4

Fonctions génératrices · Probabilités totales et formule de Bayes · Suites récurrentes linéaires · Espérance, variance, moments · Séries entières — temps d'attente d'un motif, système complet d'événements, relation de récurrence, série génératrice rationnelle, espérance du temps d'attente

Partie IV — Algèbre linéaire p. 5–6

Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Racines et relations coefficients-racines · Matrices positives et stochastiques · Réduction des endomorphismes — polynôme caractéristique, polynôme réciproque, formules de Cramer, localisation des valeurs propres, système linéaire

Partie V — Étude d'un dernier cas (séquence CPC) p. 6–7

Fonctions génératrices · Chaînes de Markov · Espérance, variance, moments · Séries entières — automate à niveaux, matrice de transition, série génératrice, temps d'attente d'un motif, espérance, séquence CCPPC

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Séries entières et rayon de convergence Espérance, variance et inégalités Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Corps des fractions d'un anneau intègre La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Anneaux de polynômes