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CCINP PSI 2011 — Maths 2

Matrices symétriques positives : compacité, racine carrée, trace et inégalité de Kantorovich · 7 pages

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Le problème étudie les matrices symétriques positives et définies positives. Il montre que l'ensemble des $x$ tels que $(s(x)|x) = 1$ est compact si et seulement si toutes les valeurs propres de $s$ sont strictement positives (dans les exemples plans, une ellipse puis, pour une matrice de valeurs propres $0$ et $6$ , un couple de droites parallèles), construit et caractérise la racine carrée d'une matrice positive, l'exprime par un polynôme d'interpolation de Lagrange, caractérise les matrices positives par $\operatorname{tr}(SU) \leqslant \operatorname{tr}(S)$ pour toute $U$ orthogonale, et établit l'inégalité de Kantorovich $(s(x)|x)(s^{-1}(x)|x) \leqslant \frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n} \|x\|^4$ avec son cas d'égalité.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Étude de compacité p. 1–3

Théorème spectral · Compacité · Coniques et quadriques · Formes bilinéaires et quadratiques · Continuité — endomorphisme autoadjoint, ellipse, couple de droites parallèles, équation réduite, partie compacte, partie bornée, base orthonormée de vecteurs propres

Partie II — Racine carrée d'une matrice de $\mathcal{S}_n^+$ p. 4–5

Matrices symétriques positives · Interpolation polynomiale · Théorème spectral · Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation — racine carrée d'une matrice symétrique positive, unicité de la racine carrée, polynômes d'interpolation de Lagrange, matrice définie positive, inverse

Partie III — Une propriété de la trace des matrices de $\mathcal{S}_n^+$ p. 5–6

Matrices symétriques positives · Matrices orthogonales et rotations · Calcul matriciel · Théorème spectral — trace, groupe orthogonal, rotation plane, caractérisation des matrices positives, $a \cos \theta + b \sin \theta$ , réflexion

Partie IV — Des inégalités remarquables p. 6–7

Matrices symétriques positives · Inégalités classiques · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Polynômes — inégalité de Kantorovich, inégalité de Cauchy-Schwarz, polynôme d'endomorphisme, trinôme du second degré, cas d'égalité, valeurs propres extrêmes

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Compacité Espaces vectoriels et sous-espaces Espace dual Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Anneaux de polynômes Applications linéaires Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces vectoriels normés et espaces de Banach