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CCINP PSI 2012 — Mathématiques

Équations différentielles matricielles et matrice résolvante · 7 pages

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Le sujet résout d'abord un système différentiel $X' = AX + B(t)$ à coefficients constants en dimension 4, par les éléments propres de $A$ puis par résolution en cascade. Il définit ensuite, pour $X' = A(t)X$ , la matrice résolvante $R(t, t_0) = W(t)W(t_0)^{-1}$ à partir d'un système fondamental, en établit les propriétés et obtient par variation des constantes la solution particulière intégrale de $t_0$ à $t$ de $R(t, u)B(u)$ . Il applique enfin ces résultats à l'équation $t(t - 1)y'' + 3y' - 6y = 20t^4$ sur $\left]0, 1\right[$ , après avoir trouvé les solutions polynomiales et développables en série entière de l'équation homogène.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Cas d'une matrice à coefficients constants p. 2–4

Systèmes différentiels linéaires · Diagonalisation · Équations différentielles linéaires · Réduction des endomorphismes — système différentiel linéaire, système fondamental de solutions, vecteurs propres, solution générale, problème de Cauchy, résolution en cascade

Partie II — Matrice résolvante p. 4–5

Systèmes différentiels linéaires · Équations différentielles linéaires · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Applications linéaires et rang · Calcul matriciel — matrice résolvante, matrice wronskienne, isomorphisme $X \mapsto X(t_0)$ , variation des constantes, solution particulière intégrale

Partie III — Une application de la résolvante p. 5–7

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Systèmes différentiels linéaires · Polynômes · Déterminants — équation différentielle du second ordre à coefficients variables, solutions polynomiales, solution développable en série entière, rayon de convergence, wronskien, système fondamental de solutions

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Théorème de Cauchy-Lipschitz local Applications linéaires Théorème du rang Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Anneaux de polynômes Formes multilinéaires alternées