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Centrale-Supélec MP 2015 — Maths 2

Autour des sommes d'Euler · 4 pages

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Le sujet étudie les sommes $S_r = \sum H_n/(n+1)^r$ , où $H_n$ est la somme harmonique, pour obtenir la relation d'Euler $2S_r = r\zeta(r+1) - \sum_{k=1}^{r-2} \zeta(k+1)\zeta(r-k)$ pour $r \geqslant 3$ . Il les représente d'abord par des intégrales sur $\left]0, 1\right[$ (ce qui donne $S_2$ en fonction de $\zeta(3)$ ), établit la relation $\beta(x, y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ , étudie la fonction digamma $\psi$ (série de fonctions, développement en série entière faisant intervenir les $\zeta(n+1)$ ), puis exprime $S_r$ à l'aide des dérivées de $\frac{\partial^2 \beta}{\partial y^2}(x, 1)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Représentation intégrale de sommes de séries p. 1–2

Séries entières · Interversion des limites · Fonction zêta de Riemann · Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment — série harmonique, constante d'Euler, développement en série entière de $\ln(1-t)$ , intégration terme à terme, intégration par parties, valeur de $\zeta(3)$

Partie II — La fonction $\beta$ p. 2

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment — fonction Bêta, fonction Gamma, relation entre Bêta et Gamma, changement de variable, dérivation sous le signe intégrale, intégrale à paramètre

Partie III — La fonction digamma p. 3

Fonctions spéciales · Suites et séries de fonctions · Séries entières · Fonction zêta de Riemann · Fonctions Gamma et Bêta · Dérivabilité — fonction digamma, dérivée logarithmique de Gamma, série de fonctions, dérivation terme à terme, développement en série entière, valeurs de $\zeta$ aux entiers

Partie IV — Une expression de $S_r$ en fonction de valeurs entières de $\zeta$ p. 4

Fonction zêta de Riemann · Intégrales à paramètre · Fonctions spéciales · Dérivabilité · Séries entières — sommes d'Euler, dérivées successives d'une intégrale à paramètre, formule de Leibniz, fonction digamma, $\zeta(r+1)$

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La fonction zêta de Riemann et son prolongement Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Dérivabilité