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Centrale-Supélec PC 2026 — Maths 1

Découverte de la planète Neptune · 4 pages

Inspiré du problème des perturbations planétaires, le sujet commence par la géométrie de l'ellipse (foyers, équation réduite, excentricité), puis résout un système différentiel $H'' = AH$ avec $A = -B^2$ en diagonalisant $A$ . Il calcule ensuite le polynôme caractéristique à partir des traces des puissances (sommes de Newton) et étudie enfin les valeurs propres d'une perturbation de rang un $D + tUU^\top$ d'une matrice diagonale : équation séculaire, entrelacement, continuité et dérivabilité des valeurs propres en fonction de $t$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Ellipse p. 1–2

Coniques et quadriques · Dérivabilité · Géométrie affine et euclidienne — ellipse, foyers, excentricité, équation réduite, inégalité triangulaire

Partie B — Un système différentiel p. 2–3

Systèmes différentiels linéaires · Diagonalisation · Équations linéaires d'ordre 2 — système différentiel linéaire, découplage, oscillateurs, équation $y'' = \lambda y$

Partie C — Polynôme caractéristique et traces p. 3

Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Racines et relations coefficients-racines · Trigonalisation · Diagonalisation — sommes de Newton, méthode de Le Verrier, trace d'un produit, trigonalisation sur $\mathbb{C}$

Partie D — Perturbation de rang un p. 4

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Dérivabilité · Continuité · Fractions rationnelles · Calcul matriciel — perturbation de rang un, équation séculaire, entrelacement des valeurs propres, tableau de variations, dérivée d'une valeur propre

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Corps des fractions d'un anneau intègre