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Centrale-Supélec PSI 2017 — Maths 1

Grandes déviations · 4 pages

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Pour une suite de variables discrètes indépendantes de même loi que $X$ , de somme $S_n$ , le sujet montre que $P(S_n \geqslant na)$ tend géométriquement vers $0$ lorsque $a > E(X)$ et que $X$ admet des moments exponentiels. Il étudie la fonction génératrice des moments $\varphi_X(t) = E(e^{tX})$ (intervalle de définition, régularité $\mathcal{C}^\infty$ , croissance de $\varphi'/\varphi$ ), la loi faible des grands nombres par Bienaymé-Tchebychev et le lemme de Fekete pour les suites sur-additives, puis établit le théorème de Cramér : la limite de $\ln P(S_n \geqslant na)/n$ est la borne inférieure de $\ln \varphi_X(t) - ta$ sur $t \geqslant 0$ , avec calculs explicites pour les lois de Bernoulli et de Poisson et applications asymptotiques à des sommes de coefficients binomiaux.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I.A — Une classe de variables aléatoires p. 1–2

Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Interversion des limites · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Loi géométrique · Loi de Poisson · Convergence uniforme et normale · Fonctions convexes — fonction génératrice des moments, moments exponentiels, transformée de Laplace d'une loi, dérivation terme à terme, convexité du logarithme

Parties I.B et I.C — Bienaymé-Tchebychev et suites sur-additives p. 2

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois des grands nombres · Suites numériques — inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres, suite sur-additive, lemme de Fekete, division euclidienne

Partie II.A et II.B — Exposant et majoration des grandes déviations p. 2–3

Grandes déviations · Inégalités de concentration · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi de Poisson · Équivalents et comparaison — exposant des grandes déviations, inégalité de Chernoff, borne exponentielle, transformée de Legendre, loi de Bernoulli

Partie II.C — Le théorème de Cramér p. 3–4

Grandes déviations · Lois des grands nombres · Coefficients binomiaux · Loi de Poisson — théorème de Cramér, changement de probabilité exponentiel, loi biaisée, sommes de coefficients binomiaux, limite de racine $n$ -ième

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Une série entière est holomorphe Espaces de Hilbert et théorème de projection Lois de Poisson et loi exponentielle Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Dérivabilité Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Ensembles finis et principe des tiroirs