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Centrale-Supélec PSI 2025 — Maths 1

Conditionnement d'une matrice et applications · 4 pages

Le sujet construit la norme d'opérateur associée à la norme euclidienne sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , l'identifie au rayon spectral pour une matrice symétrique et à la racine du rayon spectral de $A^\top A$ en général. Il étudie le conditionnement d'une matrice inversible, son invariance par les matrices orthogonales, le minore par $2^n$ pour une matrice bidiagonale, le calcule pour la matrice tridiagonale du laplacien discret, puis démontre l'inégalité de Kantorovich de deux façons, l'une algébrique et l'autre probabiliste.

Le sujet, partie par partie

Partie A — Construction d'une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 1–2

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Topologie des espaces de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Théorème spectral · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Compacité — norme subordonnée, norme d'opérateur, inégalité de Cauchy-Schwarz, rayon spectral, matrices orthogonales, norme sous-multiplicative

Partie B — Conditionnement d'une matrice pour la norme $N$ p. 2

Valeurs singulières et conditionnement · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Matrices orthogonales et rotations · Matrices remarquables · Analyse numérique — conditionnement, matrice bidiagonale, inverse d'une matrice, matrice mal conditionnée

Partie C — Conditionnement pour une matrice réelle inversible p. 3

Matrices symétriques positives · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Analyse numérique · Valeurs singulières et conditionnement · Théorème spectral — valeurs singulières, matrice $A^\top A$ , matrices symétriques positives, conditionnement, quotient de Rayleigh

Partie D — Calcul explicite de conditionnement p. 3

Diagonalisation · Analyse numérique · Théorème spectral · Matrices remarquables · Valeurs singulières et conditionnement — matrice tridiagonale, laplacien discret, éléments propres d'une matrice tridiagonale, vecteurs propres sinusoïdaux, conditionnement

Partie E — Inégalité de Kantorovich p. 3–4

Inégalités classiques · Matrices symétriques positives · Espérance, variance, moments · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes d'endomorphismes · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Théorème spectral — inégalité de Kantorovich, produit scalaire associé à une matrice, inégalité de Cauchy-Schwarz, matrices définies positives, variable aléatoire finie

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Compacité Matrices d'une application linéaire Théorème du point fixe de Banach Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espérance, variance et inégalités Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Anneaux de polynômes