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e3a-Polytech PC 2014 — Mathématiques

Comportement asymptotique des solutions d'équations $y'' + q(x)y = 0$ · 5 pages

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Le sujet étudie la fonction $f(x) = \int_0^1 \cos(xt)/\sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t$ , solution de $xy'' + y' + xy = 0$ , et montre par une fonction d'énergie qu'elle est dominée par $1/\sqrt{x}$ à l'infini. Il résout ensuite $4x^4y'' - y = 0$ par changement de variable et série entière, puis établit des lemmes sur les limites de $g(x)/x$ . Il conclut que, si $t \mapsto t\,q(t)$ est intégrable d'intégrale de $|t\,q(t)|$ inférieure à $1$ et si $t \mapsto t^2 q(t)$ est intégrable, toute solution de $y'' + q(x)y = 0$ vérifie que $y(x)/x$ admet une limite finie en $+\infty$ .

Le sujet, partie par partie

Questions préliminaires et Première partie — Une intégrale à paramètre solution d'une équation de Bessel p. 2–3

Intégrales à paramètre · Équations linéaires d'ordre 2 · Fonctions de Bessel · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée — intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, équation de Bessel, fonction d'énergie, solution bornée, intégration par parties

Deuxième partie — Résolution de $4x^4y'' - y = 0$ par série entière p. 3

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières — changement de variable $t = 1/x$ , solution développable en série entière, rayon de convergence, sinus hyperbolique

Troisième partie — Résultats préliminaires sur les limites p. 4

Développements asymptotiques · Convergence dominée · Séries numériques · Dérivabilité — série télescopique, critère de convergence, limite de $g(x)/x$ , théorème de convergence dominée, comportement à l'infini

Quatrième partie — Comportement asymptotique des solutions p. 4–5

Équations linéaires d'ordre 2 · Développements asymptotiques · Intégrales généralisées et intégrabilité · Inégalités classiques — équation $y'' + q(x)y = 0$ , intégrabilité de $t\,q(t)$ , solution bornée, limite de $y(x)/x$ , inégalité intégrale

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces vectoriels normés et espaces de Banach