AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PC 2018 — Maths 2

Résolution de l'équation $\ln(x) = ax$ · 5 pages

Le sujet discute le nombre de solutions de $\ln(x) = ax$ selon $a$ , résout l'équation fonctionnelle continue $\varphi(x + y) = \varphi(x)\varphi(y)$ , puis introduit les polynômes $P_n = X(X + n)^{n-1}/n!$ , qui vérifient $P_n' = P_{n-1}(X + 1)$ et une formule de type binomial. À l'aide de la formule de Stirling et du produit de Cauchy, il montre que $F_a(x) = \sum P_n(x) a^n$ converge pour $|a| \leqslant 1/e$ , que $F_a(x) = F_a(1)^x$ et que $F_a(1)$ est la plus petite solution de $\ln(x) = ax$ ; il en déduit un développement en série de la solution de $y^y = C$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude de l'équation $(E_a)$ p. 2

Continuité · Dérivabilité — théorème des valeurs intermédiaires, étude de fonction, logarithme, bijection strictement monotone, nombre de solutions

Partie II — Étude d'une équation fonctionnelle p. 2–3

Équations fonctionnelles · Densité · Nombres rationnels et décimaux — équation fonctionnelle, morphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}_+^*$ , fonction exponentielle, partie entière, approximation décimale, continuité

Partie III — Étude d'une suite de polynômes p. 3

Polynômes · Coefficients binomiaux — polynômes d'Abel, dérivée d'un polynôme, raisonnement par récurrence, polynômes de type binomial

Partie IV — Retour sur l'équation $(E_a)$ p. 3–4

Formule de Stirling · Familles sommables et produit de Cauchy · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison · Interversion des limites · Équations fonctionnelles · Dérivabilité — formule de Stirling, produit de Cauchy, convergence normale, dérivation terme à terme, équation $y$ puissance $y$ égale $C$ , plus petite solution

Dans l'édifice

Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité Intérieur, adhérence ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Anneaux de polynômes Ensembles finis et principe des tiroirs Intégrale de Riemann La demi-droite achevée et les sommes positives Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites Une série entière est holomorphe