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e3a-Polytech PSI 2018 — Mathématiques

Matrices symétriques positives, loi conjointe binomiale, sous-espaces de matrices diagonalisables, listes en Python · 5 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le premier exercice caractérise les matrices symétriques positives (forme quadratique, spectre, racine carrée) et montre qu'une telle matrice à coefficients hors diagonaux strictement négatifs est de rang au moins $n - 1$ . Le deuxième étudie un couple $(X, Y)$ de loi $P(X = i, Y = j) = \alpha \binom{n}{i-1} \binom{n}{j-1}$ , ses lois marginales binomiales décalées et la formule de Vandermonde. Le troisième cherche la dimension maximale d'un sous-espace de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ formé de matrices diagonalisables ( $n(n+1)/2$ , atteinte par les matrices symétriques) et construit une base de matrices diagonalisables ; le quatrième, d'informatique, programme le comptage d'occurrences et la suite de Robinson.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Matrices symétriques positives p. 2

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Applications linéaires et rang · Matrices remarquables — matrice symétrique positive, racine carrée d'une matrice, base orthonormée de vecteurs propres, matrice dont tous les coefficients valent 1, rang, famille libre

Exercice 2 — Couple de variables et formule de Vandermonde p. 3

Couples et sommes de variables aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Coefficients binomiaux · Espérance, variance, moments · Calcul matriciel — loi conjointe, lois marginales, indépendance, formule de Vandermonde, double dénombrement, rang et trace

Exercice 3 — Sous-espaces de matrices diagonalisables p. 3–5

Diagonalisation · Espaces vectoriels et dimension · Topologie des espaces de matrices · Calcul matriciel · Théorème spectral — matrices antisymétriques, matrices symétriques, dimension maximale, ouvert et fermé de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , somme directe, base de matrices diagonalisables

Exercice 4 — Listes et suite de Robinson (Python) p. 5

Informatique et algorithmique — Python, listes, maximum d'une liste, comptage d'occurrences, complexité, suite de Robinson

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Théorème de définition par récurrence