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Mines-Ponts MP 2013 — Maths 1

Applications bilinéaires symétriques plates · 4 pages

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Une application bilinéaire symétrique $\varphi$ de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^p$ est dite plate si $\langle \varphi(x, y), \varphi(z, w)\rangle = \langle \varphi(x, w), \varphi(z, y)\rangle$ . Le sujet montre qu'une forme bilinéaire symétrique ( $p = 1$ ) non nulle est plate si et seulement si elle est de rang 1, démontre la diagonalisation simultanée en base orthonormée d'une famille d'endomorphismes autoadjoints qui commutent, étudie les vecteurs réguliers (ouverts et denses), et conclut que, pour $p = n$ et un noyau nul, une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.

Le sujet, partie par partie

Partie A — Formes bilinéaires symétriques plates p. 2–3

Formes bilinéaires et quadratiques · Théorème spectral · Dualité — forme bilinéaire symétrique, produit tensoriel de formes linéaires, rang d'une forme bilinéaire, base duale, endomorphisme symétrique associé

Partie B — Diagonalisation simultanée p. 3

Théorème spectral · Sous-espaces stables · Diagonalisation — codiagonalisation, endomorphismes autoadjoints qui commutent, base orthonormée de vecteurs propres, récurrence sur la dimension

Partie C — Vecteurs réguliers p. 3–4

Applications linéaires et rang · Densité · Déterminants · Topologie, compacité, connexité — rang maximal, vecteur régulier, ouvert dense, déterminant polynomial en $t$ , famille libre, application bilinéaire

Partie D — Le cas $p = n$ de noyau nul p. 4

Théorème spectral · Formes bilinéaires et quadratiques · Diagonalisation — application bilinéaire plate, endomorphisme autoadjoint, codiagonalisation, base diagonalisante

Dans l'édifice

Espace dual Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Matrices d'une application linéaire Théorème du rang Intérieur, adhérence Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ