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Mines-Ponts PC 2016 — Maths 1

Marche aléatoire : retour à $0$ · 6 pages

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Le sujet établit d'abord le développement de $1/\sqrt{1-x}$ et une identité de Karamata : si $(1-x)^{1/2} \sum a_k x^k$ tend vers $\sqrt{\pi}$ en $1^-$ , alors $\sum_{k\leqslant n} a_k \sim 2\sqrt{n}$ . Un théorème taubérien montre ensuite que pour $(a_n)$ décroissante positive, $S_n \sim 2\sqrt{n}$ entraîne $a_n \sim 1/\sqrt{n}$ . Ces résultats sont appliqués à la marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$ : par une décomposition selon le dernier passage en $0$ et des séries génératrices, on obtient $\sum P(T > n) x^n = \sqrt{(1+x)/(1-x)}$ , d'où $P(T > n) \sim \sqrt{2/(\pi n)}$ , la récurrence $P(T = +\infty) = 0$ et la loi du temps de retour $P(T = 2n) = \binom{2n}{n}/((2n-1)4^n)$ .

Le sujet, partie par partie

A — Préliminaire p. 2

Séries entières · Coefficients binomiaux — développement en série entière de $(1-x)^{-1/2}$ , coefficient binomial central, rayon de convergence

B — Identité de Karamata p. 2–3

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta · Équivalents et comparaison — théorème taubérien de Hardy-Littlewood-Karamata, limite en $1$ à gauche, intégrale de $e^{-t}/\sqrt{t}$ , fonction polynomiale, fonction discontinue $h$

C — Théorème taubérien p. 3–4

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Équivalents et comparaison · Suites numériques — théorème taubérien, suite décroissante, partie entière, encadrement, sommes partielles

D — Marche aléatoire p. 4–6

Marches aléatoires · Fonctions génératrices · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Conditionnement et indépendance · Familles sommables et produit de Cauchy · Coefficients binomiaux · Séries entières — marche aléatoire simple, temps de retour à l'origine, récurrence de la marche, série génératrice, produit de Cauchy, dernier passage en $0$

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Ensembles finis et principe des tiroirs Sommation d'Abel et intégrales impropres Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition La demi-droite achevée et les sommes positives