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Mines-Ponts PC 2024 — Maths 1

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne · 5 pages

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Le sujet introduit le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck $P_t(f)(x) = \int f\big(e^{-t}x + \sqrt{1-e^{-2t}}\, y\big) \varphi(y) \,\mathrm{d}y$ , où $\varphi$ est la densité gaussienne standard, agissant sur les fonctions continues à croissance lente, et son générateur $L(f) = f'' - x f'$ . Il établit la formule d'intégration par parties gaussienne et l'équation $\partial P_t(f)/\partial t = L(P_t(f))$ par dérivation sous l'intégrale. En dérivant l'entropie $S(t) = \operatorname{Ent}_\varphi(P_t(f))$ et en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il démontre l'inégalité de log-Sobolev $\operatorname{Ent}_\varphi(f) \leqslant \frac{1}{2} \int f'^2/f \, \varphi$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Résultats préliminaires p. 2–3

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Loi normale et vecteurs gaussiens · Espaces vectoriels et dimension · Convergence dominée — densité gaussienne, fonctions à croissance lente, semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck, intégration par parties gaussienne, continuité sous l'intégrale, convergence dominée

Partie 2 — Dérivée de $P_t(f)$ p. 3–4

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations aux dérivées partielles — dérivation sous le signe intégrale, domination, générateur $f'' - x f'$ , équation $\partial P_t(f)/\partial t = L(P_t(f))$

Partie 3 — Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne p. 4–5

Inégalités fonctionnelles · Intégrales à paramètre · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Fonctions convexes · Intégrales généralisées et intégrabilité — inégalité de log-Sobolev, entropie, fonction $t \ln t$ , inégalité de Cauchy-Schwarz, information de Fisher, dérivée de l'entropie

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée La loi normale Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Fonctions de classe Cᵏ Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Espaces de Hilbert et théorème de projection Dérivabilité