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Mines-Ponts PSI 2016 — Maths 1

Marche aléatoire : retour à $0$ · 6 pages

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Le sujet part du développement en série entière de $1/\sqrt{1-x}$ , admet l'identité de Karamata pour une série entière $f$ vérifiant $\sqrt{1-x}\, f(x) \to \sqrt{\pi}$ quand $x \to 1^-$ , et en déduit que les sommes partielles $a_0 + \dots + a_n$ sont équivalentes à $2\sqrt{n}$ ; un théorème taubérien montre ensuite que, si $(a_n)$ est décroissante positive, $a_n \sim 1/\sqrt{n}$ . Pour la marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$ , il établit la relation de renouvellement $1 = \sum \mathbb{P}(S_k = 0)\, \mathbb{P}(T > n - k)$ , obtient la série génératrice $\sum \mathbb{P}(T > n)\, x^n = \sqrt{(1+x)/(1-x)}$ , un équivalent de $\mathbb{P}(T > n)$ , la récurrence $\mathbb{P}(T = +\infty) = 0$ et la loi du premier retour $\mathbb{P}(T = 2n) = \binom{2n}{n}/((2n-1)\, 4^n)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Préliminaire p. 2

Séries entières · Coefficients binomiaux — développement en série entière, $1/\sqrt{1-x}$ , coefficients binomiaux centraux

Partie B — Identité de Karamata p. 2–3

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison — identité de Karamata, théorème taubérien, comportement au bord du disque, fonction Gamma en $1/2$ , cas d'un polynôme $Q$

Partie C — Théorème taubérien p. 3–4

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Équivalents et comparaison · Suites numériques — théorème taubérien, suite décroissante, sommes partielles, partie entière, encadrement

Partie D — Marche aléatoire p. 4–6

Marches aléatoires · Fonctions génératrices · Théorie du renouvellement · Familles sommables et produit de Cauchy · Coefficients binomiaux · Équivalents et comparaison — marche aléatoire simple, temps de premier retour, récurrence de la marche, équation de renouvellement, série génératrice, produit de Cauchy

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Ensembles finis et principe des tiroirs Sommation d'Abel et intégrales impropres Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Martingales et temps d'arrêt La demi-droite achevée et les sommes positives