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X-ENS MP 2022 — Maths A

Angles entre sous-espaces, volumes et grassmannienne orientée · 7 pages

Dans un espace euclidien, le sujet construit pour deux sous-espaces de même dimension $p$ des bases orthonormées adaptées réalisant successivement les maxima des produits scalaires, ce qui définit les angles principaux $\theta_1 \leqslant \dots \leqslant \theta_p$ et donne $\det \operatorname{Gram}(u, u') = \prod \cos \theta_k \leqslant 1$ . Il étudie ensuite les formes $p$ -linéaires alternées $\Omega_p(e)(u) = \det \operatorname{Gram}(e, u)$ , le $p$ -volume d'une famille (inégalité de Hadamard), munit l'espace des formes alternées d'un produit scalaire canonique, puis plonge la grassmannienne des sous-espaces orientés dans la sphère unité et en étudie compacité et connexité par arcs.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Angles principaux entre deux sous-espaces p. 2–4

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Déterminants · Compacité · Valeurs singulières et conditionnement · Dérivabilité — angles principaux, matrice de Gram, base orthonormée adaptée, déterminant de Gram, produit mixte

Partie II — Formes alternées et $p$ -volume p. 5

Déterminants · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Projection orthogonale et moindres carrés · Groupe symétrique · Inégalités classiques — forme $p$ -linéaire alternée, $p$ -volume, déterminant de Gram, inégalité de Hadamard, matrice de passage, signature

Partie III — Produit scalaire sur les formes alternées p. 6

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Dualité · Déterminants · Isométries et groupe orthogonal — espace des formes alternées, base orthonormée, dimension binomiale, isométrie, produit scalaire canonique

Partie IV — Grassmannienne orientée p. 6–7

Compacité · Connexité · Déterminants · Espaces préhilbertiens et euclidiens — sous-espace orienté, orientation, grassmannienne, sphère unité, connexité par arcs, plongement de Plücker

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Compacité Matrices d'une application linéaire Dérivabilité Groupe symétrique et signature Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espace dual Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Caractérisations de la connexité