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X-ENS MPI 2025 — Maths C

Fonctions d'un grand nombre de variables aléatoires · 10 pages

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Le sujet estime la taille d'une somme de variables aléatoires bornées centrées sous des hypothèses de dépendance de plus en plus fortes (décorrélation, $k$ -indépendance, indépendance), jusqu'à une borne sous-gaussienne obtenue par la méthode des moments. Il démontre ensuite l'inégalité de concentration de Talagrand pour les fonctions convexes lipschitziennes d'un vecteur de variables indépendantes, par récurrence sur la dimension et à l'aide d'enveloppes convexes.

Le sujet, partie par partie

Rappels et Partie I — Amplitude d'une somme de variables aléatoires p. 1–5

Inégalités de concentration · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Covariance et corrélation · Dénombrement et combinatoire · Formule de Stirling · Variables aléatoires et lois usuelles — inégalité de Markov, Bienaymé-Tchebychev, $k$ -indépendance, variables décorrélées, méthode des moments, borne sous-gaussienne, inégalité $\ell! \geqslant \ell^\ell e^{-\ell}$

Partie II.1–II.2 — Concentration et enveloppes convexes p. 5–8

Inégalités de concentration · Ensembles convexes · Compacité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — inégalité de concentration de Talagrand, fonction lipschitzienne convexe, enveloppe convexe, théorème de Carathéodory, distance à un convexe, hypercube

Partie II.3 — Preuve par récurrence sur la dimension p. 8–10

Inégalités de concentration · Conditionnement et indépendance · Fonctions convexes · Espérance, variance, moments · Inégalités de Hölder et de Minkowski — inégalité de Hölder, probabilité conditionnelle, récurrence sur la dimension, sections d'un convexe, inégalité de Talagrand

Dans l'édifice

Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Espérance, variance et inégalités Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Intégrale de Riemann Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Théorème de Hahn-Banach Compacité Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Indépendance d'événements et de tribus Dérivabilité Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer