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X-ENS PC 2011 — Maths

Matrices infiniment divisibles · 4 pages

Le sujet étudie les matrices symétriques à coefficients positifs dont toutes les puissances de Hadamard réelles $A^{*r} = (a_{ij}^r)$ sont positives. Après la formule de Gauss pour la fonction $\Gamma$ et le théorème de Schur sur le produit de Hadamard de deux matrices positives, il montre que les matrices de Cauchy $(1/(\lambda_i+\lambda_j))$ et $(\Gamma(\lambda_i+\lambda_j+1)/(\Gamma(\lambda_i+1)\Gamma(\lambda_j+1)))$ sont infiniment divisibles, puis relie cette propriété à la positivité conditionnelle de la matrice des logarithmes, ce qui donne l'infinie divisibilité de $(\exp(-|z_i-z_j|^2))$ et $(\exp(-|z_i-z_j|))$ .

Le sujet, partie par partie

Première partie — La fonction $\Gamma$ p. 1

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Convergence dominée · Intégrale sur un segment — fonction Gamma, formule de Gauss, intégrations par parties successives, limite de $(1 - x/m)^m$ , continuité d'une intégrale à paramètre

Deuxième partie — Matrices positives et produit de Hadamard p. 2

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Calcul matriciel — matrice symétrique positive, produit de Hadamard, théorème du produit de Schur, matrice de Gram, décomposition en somme de $Y\,{}^t\!Y$

Troisième partie — Matrices infiniment divisibles p. 2–3

Matrices symétriques positives · Fonctions Gamma et Bêta · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Produits infinis — matrice infiniment divisible, puissance de Hadamard, matrice de Cauchy, matrice de Gram, produit scalaire à poids, formule de Gauss

Quatrième partie — Matrices conditionnellement positives p. 4

Matrices symétriques positives · Formes bilinéaires et quadratiques · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité — matrice conditionnellement positive, matrice de logarithmes, noyau gaussien, exponentielle de Hadamard, noyau $\exp(-|z|)$

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Suites, séries et parties compactes de ℂ Espace dual Dérivabilité