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X-ENS PSI 2012 — Maths

Fonctions coercives et méthodes de descente de gradient · 6 pages

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Le sujet montre qu'une fonction coercive sur $\mathbb{R}^n$ atteint un minimum global, où le gradient s'annule si elle est $\mathcal{C}^1$ . Il étudie la méthode du gradient à pas fixe pour une fonctionnelle quadratique $\frac{1}{2}(Ax, x) - (b, x)$ avec $A$ symétrique définie positive, donne pour $x^2$ des suites de descente qui ne convergent pas vers le minimum, puis définit les suites de descente générales. Sous une condition de décroissance suffisante (type Armijo) et un pas minoré, il prouve que le gradient tend vers $0$ , et en dimension 1 pour $f$ strictement convexe que la suite converge vers l'unique minimum.

Le sujet, partie par partie

Préambule — Minimum d'une fonction coercive p. 2

Extrema et optimisation · Compacité · Calcul différentiel — fonction coercive, minimum global, bornes atteintes sur un compact, gradient nul en un minimum

Partie 1 — Gradient à pas fixe pour une fonctionnelle quadratique p. 3

Descente de gradient · Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Rayon spectral · Calcul différentiel — fonctionnelle quadratique, gradient, matrice symétrique définie positive, méthode du gradient à pas fixe, convergence des puissances d'une matrice

Partie 2 — Suites de descente pour $x^2$ p. 3–4

Descente de gradient · Suites numériques — suite de descente par gradient, fonction carré, contre-exemple, suite non convergente

Partie 3 — Suites de descente par gradient : définition générale p. 4–5

Descente de gradient · Calcul différentiel · Suites numériques — direction de descente, pas de descente, suite bornée, fonction coercive

Partie 4 — Convergence sous conditions sur le pas p. 5–6

Descente de gradient · Fonctions convexes · Séries numériques · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Compacité — condition d'Armijo, pas minoré, gradient tendant vers $0$ , fonction strictement convexe, préconditionnement

Dans l'édifice

Applications différentiables Compacité Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives