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Agrégation interne 2022 — Épreuve 2

Estimation du paramètre d'une loi de Poisson et inégalité de Cramer-Rao · 14 pages

Le sujet reprend d'abord les propriétés des séries entières (rayon de convergence, dérivation terme à terme) et les applique aux nombres de Bell, dont il établit la série génératrice exponentielle $e^{e^x - 1}$ et la formule de Dobinski. Il construit ensuite la théorie des familles sommables (sommation par paquets) jusqu'au théorème de transfert. Les deux dernières parties portent sur l'estimation du paramètre $\theta$ d'une loi de Poisson : biais et risque quadratique de la moyenne et de la variance empiriques, information de Fisher, inégalité de Cramer-Rao, et efficacité de la moyenne empirique.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Séries entières et nombres de Bell p. 5–6

Séries entières · Dénombrement et combinatoire · Convergence uniforme et normale · Coefficients binomiaux · Fonctions génératrices · Séries numériques — rayon de convergence, dérivation terme à terme, nombres de Bell, partitions d'un ensemble, formule de Dobinski, vrai ou faux

Partie II — Familles sommables et théorème de transfert p. 7–9

Familles sommables et produit de Cauchy · Espérance, variance, moments · Séries numériques · Espaces probabilisés — famille sommable, sommation par paquets, parties positive et négative, théorème de transfert

Partie III — Estimateurs du paramètre d'une loi de Poisson p. 9–11

Statistique : estimation et tests · Loi de Poisson · Espérance, variance, moments · Covariance et corrélation · Variables aléatoires et lois usuelles — estimateur sans biais, risque quadratique, moyenne empirique, variance empirique corrigée, moment d'ordre 4, somme de lois de Poisson

Partie IV — Inégalité de Cramer-Rao p. 12–14

Statistique : estimation et tests · Loi de Poisson · Espérance, variance, moments · Interversion des limites · Séries entières · Inégalités classiques · Covariance et corrélation — inégalité de Cramer-Rao, information de Fisher, fonction de vraisemblance, estimateur efficace, discriminant d'un trinôme

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espérance, variance et inégalités Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Lois de Poisson et loi exponentielle Espaces vectoriels normés et espaces de Banach