AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2021 — Sujet unique, mai 2021

Test anti-dopage et loi binomiale, suite récurrente et fonction Python, géométrie dans le cube, vrai-faux sur l'exponentielle et la convexité ou fonction logarithme et point d'inflexion · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traduit un test anti-dopage par un arbre pondéré, calcule la probabilité qu'un athlète positif soit dopé, puis utilise la loi binomiale (espérance, au moins un succès, nombre minimal de contrôles). Le deuxième étudie la suite $u_{n+1} = 0{,}75u_n(1 - 0{,}15u_n)$ à l'aide de la fonction associée : encadrement par récurrence, convergence, limite et seuil calculé par une fonction Python. Le troisième traite de parallélisme et de coplanarité dans un cube, puis de droites et d'un plan donnés par leurs équations et d'un projeté orthogonal. Au choix, l'exercice A est un vrai-faux sur la fonction exponentielle et la convexité, et l'exercice B détermine $f(x) = \frac{a + b\ln x}{x}$ par lecture graphique, l'étudie et montre que sa courbe a un unique point d'inflexion.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Test anti-dopage : arbre pondéré, probabilité conditionnelle et loi binomiale p. 1

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, sensibilité et spécificité d'un test, probabilités totales, espérance d'une loi binomiale, $P(X \geqslant 1)$ , nombre minimal de contrôles

Exercice 2 — Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : monotonie par récurrence, limite et seuil en Python p. 2

Suites numériques · Second degré · Points fixes et suites itératives · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 0{,}75u_n(1 - 0{,}15u_n)$ , $f(x) = x$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, limite d'une suite, fonction Python, seuil

Exercice 3 — Cube, coplanarité, droites et plan de l'espace, projeté orthogonal p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, position relative de deux droites, vecteurs coplanaires, $x + 3y - 2z + 2 = 0$ , droite parallèle à un plan, projeté orthogonal

Exercice A — Au choix du candidat — Vrai-faux : fonction exponentielle, tangente, limite et convexité p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Fonctions convexes · Dérivabilité · Continuité — vrai-faux, $\left(\mathrm{e}^{a+b}\right)^2$ , tangente, $\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x + \frac{3}{x}\right)$ , $1 - x + \mathrm{e}^{-x} = 0$ , convexité d'une fonction

Exercice B — Au choix du candidat — Fonction $\frac{a + b\ln x}{x}$ : lecture graphique, variations et point d'inflexion p. 4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{a + b\ln x}{x}$ , tangente horizontale, $f(x) = \frac{4 + 4\ln x}{x}$ , tableau de variations, dérivée seconde, point d'inflexion

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Anneaux de polynômes Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point