AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2025 — Jour 1, 21 mai 2025

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, suite homographique et suite auxiliaire, vrai-faux de géométrie dans l'espace, équation différentielle et étude de fonction · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la stabilité des connexions via trois serveurs à l'aide d'un arbre pondéré, des probabilités totales et d'une probabilité conditionnelle inverse, puis le nombre de connexions instables par une loi binomiale, la plus petite taille d'échantillon garantissant au moins une connexion instable avec une probabilité au moins égale à 0,99, et la fréquence $F_n$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième détermine la limite de la suite $u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2}$ grâce à la suite auxiliaire $a_n = \frac{u_n}{u_n - 1}$ , minorée par récurrence, et interprète un algorithme de seuil en Python. Le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l'espace sur la coplanarité de deux droites, un plan orthogonal à une droite, la mesure d'un angle et la distance d'un point à son projeté orthogonal sur un plan. Le quatrième associe une fonction et sa dérivée sur un graphique, résout l'équation différentielle $y + y' = (2x+3)\mathrm{e}^{-x}$ et cherche les solutions à deux points d'inflexion, puis étudie $f(x) = (x^2 + 3x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ et calcule une aire sous sa courbe.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, loi binomiale, taille d'échantillon et inégalité de Bienaymé-Tchebychev : connexions à des serveurs p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, probabilités totales, $P(S) = 0{,}855$ , $P(X \leqslant 8)$ , au moins une connexion instable, $F_n = \frac{X_n}{n}$ , $P(|F_n - 0{,}145| \geqslant 0{,}1) \leqslant \frac{12{,}5}{n}$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — Suite homographique, suite auxiliaire minorée par récurrence et algorithme de seuil p. 3

Suites numériques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2}$ , $a_n = \frac{u_n}{u_n - 1}$ , $a_{n+1} = 3a_n - 1$ , raisonnement par récurrence, $a_n \geqslant 3n - 1$ , algorithme de seuil, fonction Python

Exercice 3 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : coplanarité de deux droites, plan orthogonal, angle, projeté orthogonal p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — coplanarité de deux droites, plan orthogonal à une droite, angle $\widehat{BAC}$ , produit scalaire, projeté orthogonal sur un plan, $x + 3z - 7 = 0$

Exercice 4 — Fonction et dérivée, équation différentielle, points d'inflexion, étude de fonction et aire p. 5–6

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes · Second degré — tangente, $y + y' = (2x+3)\mathrm{e}^{-x}$ , $f_0(x) = (x^2 + 3x)\mathrm{e}^{-x}$ , points d'inflexion, $f(x) = (x^2 + 3x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ , $f'(x) = (-x^2 - x + 1)\mathrm{e}^{-x}$ , primitive, aire sous une courbe

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Anneaux de polynômes